Решение:

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Учитывая, что скорость течения реки составляет 3 км/ч, систематизируем данные о движении в таблице:

	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
По течению	30	$x + 3$	$\frac{30}{x + 3}$
Против течения	30	$x - 3$	$\frac{30}{x - 3}$

Определим чистое время нахождения баржи в движении. Между отплытием (10:00) и прибытием (22:00) прошло 12 часов. Вычтем время стоянки, которое длилось 1 час 30 минут (или $1{,}5$ часа):
$12 - 1{,}5 = 10{,}5$ часа.

На основе суммарного времени в пути составим математическую модель:
$$\frac{30}{x + 3} + \frac{30}{x - 3} = 10{,}5$$

Приведем дроби к общему знаменателю и избавимся от него:
$30(x - 3) + 30(x + 3) = 10{,}5(x^2 - 9)$
$30x - 90 + 30x + 90 = 10{,}5x^2 - 94{,}5$
$10{,}5x^2 - 60x - 94{,}5 = 0$

Для удобства расчетов умножим все коэффициенты на 2:
$21x^2 - 120x - 189 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = (-120)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-189) = 14400 + 15876 = 30276$
$\sqrt{D} = 174$

Вычислим корни уравнения:
$x = \frac{120 \pm 174}{42}$
$x_1 = \frac{120 - 174}{42} = -\frac{54}{42}$ (не подходит по смыслу задачи, так как скорость должна быть положительной);
$x_2 = \frac{120 + 174}{42} = \frac{294}{42} = 7$.

Таким образом, собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ