Разбор задачи:

Для начала систематизируем данные о движении лодки в виде таблицы. Обозначим собственную скорость плавсредства в неподвижной воде через $x$ км/ч. Учитывая, что скорость течения реки равна 1 км/ч, получаем:

Направление	Путь (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
По течению	30	$x + 1$	$\frac{30}{x + 1}$
Против течения	30	$x - 1$	$\frac{30}{x - 1}$

Определим чистое время нахождения лодки в движении. Между отплытием (10:00) и возвращением (18:00) прошло 8 часов. Вычтем из этого интервала время стоянки, которое составило 2 часа 30 минут (или 2,5 часа):
$8 - 2{,}5 = 5{,}5$ часа.
На основе суммарного времени пути составим математическую модель:

$$\frac{30}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = 5{,}5$$

Приведем дроби к общему знаменателю и упростим выражение:
$30(x - 1) + 30(x + 1) = 5{,}5(x^2 - 1)$
$30x - 30 + 30x + 30 = 5{,}5x^2 - 5{,}5$
$60x = 5{,}5x^2 - 5{,}5$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и умножим на 2 для избавления от десятичных дробей:
$11x^2 - 120x - 11 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = (-120)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-11) = 14400 + 484 = 14884 = 122^2$
$x = \frac{120 \pm 122}{2 \cdot 11}$

Получаем два значения:
$x_1 = \frac{242}{22} = 11$
$x_2 = \frac{-2}{22} = -\frac{1}{11}$

Так как скорость лодки должна быть величиной положительной, нам подходит только значение 11.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ