Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Многоугольники и их свойства

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC .$ Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые.
а) Докажите, что $AM = DM .$
б) Найдите угол $BAD ,$ если угол $ADC$ равен $70^{\circ} ,$ а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Пусть боковые стороны трапеции при продолжении пересекаются в точке $K.$ Поскольку по условию $BC = \frac{1}{2} AD,$ отрезок $BC$ является средней линией треугольника $AKD.$ Следовательно, в прямоугольном треугольнике $BKC$ отрезки $BM$ и $CM$ взаимно перпендикулярны. Точка $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $AKD,$ откуда следует равенство радиусов $AM = DM.$ Утверждение доказано.

б)

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AMD.$ Проведем в нем высоту $MO,$ которая также будет медианой. Заметим, что $MO = OD.$ Тогда угол $\angle MDO = 45^{\circ},$ а значит, $\angle CDM = 70^{\circ} - 45^{\circ} = 25^{\circ}.$ В силу равнобедренности треугольника $MKD$ имеем $\angle MDK = \angle MKD = 25^{\circ}.$ Пусть в равнобедренном треугольнике $AKM$ углы при основании равны $x,$ то есть $\angle AKM = \angle MAK = x.$ Так как треугольник $AMO$ прямоугольный и равнобедренный, угол $\angle MAO = 45^{\circ}.$ Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника $AKD:$ $(45 + x) + (x + 25) + (25 + 45) = 180$ $2x + 140 = 180$ Отсюда $x = 20.$ Тогда искомый угол $\angle BAD = 45^{\circ} + 20^{\circ} = 65^{\circ}.$

Ответ: б) 65

Источник: ФИПИ