Задание №2 — Скалярное произведение векторов

Решение:
Для начала определим координаты векторов по рисунку:
Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(2; 1)$.
Вектор $\vec{b}$ задаётся координатами $(3; -4)$.
Найдем координаты суммы векторов $\vec{a} + \vec{b}$, сложив их соответствующие компоненты:
$$\vec{a} + \vec{b} = (2 + 3; 1 + (-4)) = (5; -3)$$ Теперь вычислим координаты линейной комбинации $7\vec{a} - \vec{b}$:
$$7\vec{a} - \vec{b} = (7 \cdot 2 - 3; 7 \cdot 1 - (-4)) = (14 - 3; 7 + 4) = (11; 11)$$ Вычислим искомое скалярное произведение векторов $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(7\vec{a} - \vec{b})$ как сумму произведений их одноименных координат:
$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} - \vec{b}) = 5 \cdot 11 + (-3) \cdot 11 = 55 - 33 = 22$$

Ответ: 22

Источник: ФИПИ