Задание №3 — Призмы

Разбор задачи:

Объём исходного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ вычисляется как произведение площади его основания на высоту: $$V_{пар} = S_{ABCD} \cdot CC_{1} = 80$$ Отсюда выразим площадь основания: $S_{ABCD} = \frac{80}{CC_{1}}$.
Рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $EF$ является его средней линией, следовательно, он отсекает от него треугольник $EFC$, площадь которого в 4 раза меньше площади $BCD$ (так как коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$, а площади относятся как квадрат этого коэффициента): $$S_{EFC} = \frac{1}{4} S_{BCD}$$ Поскольку диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных треугольника, имеем: $$S_{BCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$ Таким образом, площадь основания отсечённой призмы составляет: $$S_{EFC} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{8} S_{ABCD}$$ Теперь найдём искомый объём треугольной призмы $CEFC_{1}E_{1}F_{1}$: $$V_{призмы} = S_{EFC} \cdot CC_{1} = \frac{1}{8} S_{ABCD} \cdot CC_{1} = \frac{1}{8} \cdot 80 = 10.$$

Ответ: 10

Источник: ФИПИ