Разбор задачи:

Объем исходной правильной треугольной призмы вычисляется по формуле: $V_{ABCA_{1} B_{1} C_{1}} = S_{ABC} \cdot AA_{1} = 84$.
Отсюда выразим высоту призмы через площадь её основания: $AA_{1} = \frac{84}{S_{ABC}}$.
Нам необходимо найти объем отсеченной призмы $V_{ADEA_{1} D_{1} E_{1}}$, который равен произведению площади её основания $S_{ADE}$ на ту же высоту $AA_{1}$.
Так как $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$, то треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно: $S_{ADE} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.
Подставим полученные выражения в формулу объема искомой призмы: $V_{ADEA_{1} D_{1} E_{1}} = \left(\frac{1}{4} S_{ABC}\right) \cdot \left(\frac{84}{S_{ABC}}\right) = \frac{84}{4} = 21$.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ