Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:
Так как $AB$ — гипотенуза, угол $C$ прямой. Обозначим $AC = b ,$ $BC = a .$

а) Точка $M$ — середина $AB ,$ точка $N$ — середина $BC ,$ поэтому $MN$ — средняя линия треугольника $ABC :$
$$MN \parallel AC, \qquad MN = \frac{1}{2} AC = \frac{b}{2}.$$Прямая $AC$ перпендикулярна $BC ,$ значит, и $MN \perp BC .$ Итак, $N$ — основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на прямую $BC .$
Из прямоугольного треугольника $ACN$ (прямой угол при $C$) находим
$$AN^{2} = AC^{2} + CN^{2} = b^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = b^{2} + \frac{a^{2}}{4}.$$По условию $CK : KB = 1 : 3 ,$ поэтому $CK = \frac{a}{4} ,$ и точка $K$ лежит между $C$ и $N .$ Тогда
$$NK = CN - CK = \frac{a}{2} - \frac{a}{4} = \frac{a}{4}.$$Из прямоугольного треугольника $MNK$ (прямой угол при $N$) получаем
$$KM^{2} = MN^{2} + NK^{2} = \frac{b^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{16} = \frac{1}{4} \left( b^{2} + \frac{a^{2}}{4} \right) = \frac{1}{4} AN^{2}.$$Отсюда $AN = 2 KM ,$ что и требовалось доказать.

б) Введём систему координат с началом в вершине прямого угла: $C ( 0 ; 0 ) ,$ $A ( 0 ; 6 ) ,$ $B ( 8 ; 0 ) .$ Тогда
$$M ( 4 ; 3 ), \qquad N ( 4 ; 0 ), \qquad K ( 2 ; 0 ),$$так как $CK = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2 .$
Прямая $AN$ проходит через $( 0 ; 6 )$ и $( 4 ; 0 ) :$ её уравнение $3 x + 2 y = 12 .$
Прямая $KM$ проходит через $( 2 ; 0 )$ и $( 4 ; 3 ) :$ её уравнение $3 x - 2 y = 6 .$
Складывая уравнения, получаем $6 x = 18 ,$ то есть $x = 3$ и $y = 1{,}5 .$ Значит, $P ( 3 ; 1{,}5 ) .$
Прямая $BP$ проходит через $B ( 8 ; 0 )$ и $P ( 3 ; 1{,}5 ) .$ Её угловой коэффициент равен
$$k = \frac{1{,}5 - 0}{3 - 8} = - 0{,}3,$$поэтому $y = - 0{,}3 ( x - 8 ) .$
Внутри треугольника прямая $BP$ идёт от вершины $B$ до точки пересечения со стороной $AC ,$ то есть с прямой $x = 0 .$ При $x = 0$ получаем $y = 2{,}4 ,$ и точка $Q ( 0 ; 2{,}4 )$ действительно лежит на отрезке $AC ,$ так как $0 < 2{,}4 < 6 .$
Искомая длина равна
$$BQ = \sqrt{( 8 - 0 )^{2} + ( 0 - 2{,}4 )^{2}} = \sqrt{64 + 5{,}76} = \sqrt{69{,}76} = \frac{\sqrt{6976}}{10} = \frac{8 \sqrt{109}}{10} = \frac{4 \sqrt{109}}{5} \approx 8{,}35.$$

Критерии оценивания:
3 балла — представлено полное верное доказательство пункта а) и найден верный ответ в пункте б).
2 балла — верно решён пункт б), либо пункт а) доказан, но в пункте б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт а), либо пункт б) решён верно с опорой на пункт а) (без его доказательства), либо в пункте б) допущена арифметика при верном ходе решения.
0 баллов — решение не подходит под описание выше.

Ответ: б) $\frac{4 \sqrt{109}}{5}$

Источник: ФИПИ