тема 7 из 11

Кредит с равными платежами

Если кредит гасят равными платежами $X$ , долг после последнего платежа равен нулю. Это даёт уравнение $Sb^n = X(b^{n-1} + \ldots + b + 1)$ , где $b = 1 + \frac{r}{100}$ . Сумма платежей равна $nX$ , переплата — $nX - S$ .

Реже в задании13На карте навыков

Кредит с равными (аннуитетными) платежами
—В аналитике

Равные платежи: долг в конце равен нулю

Кредит $S$ гасят $n$ равными платежами $X$ , каждый год долг растёт на $r\%$ , $b = 1 + \frac{r}{100}$ . После последнего платежа долг равен нулю.

Два года: $(Sb - X)b - X = 0$ , то есть $Sb^2 = X(b + 1)$ .
$n$ лет: $Sb^n = X(b^{n-1} + \ldots + b + 1)$ .
Платёж: $X = \frac{Sb^n(b - 1)}{b^n - 1}$ .
Сумма платежей — $nX$ , переплата — $nX - S$ .

Два равных платежа

Проведите долг два года (долг год за годом). После первого платежа остаётся $Sb - X$ , после второго — $(Sb - X)b - X$ , и это ноль. Раскройте скобки: $Sb^2 = Xb + X = X(b + 1)$ .

Платёж не равен половине выросшего долга $\frac{Sb^2}{2}$ : первый платёж уменьшает долг раньше, чем начислят проценты второго года.

Пример

Кредит 2100 тыс. рублей гасят двумя равными платежами, каждый январь долг растёт на $10\%$ . Найдите платёж в тысячах рублей.

1. $2100 \cdot 1{,}1^2 = X(1{,}1 + 1)$ , то есть $2541 = 2{,}1X$ .
2. $X = 2541 : 2{,}1 = 1210$ .

Ответ: $1210$

Равные платежи по годам

S b^{n} = X\left(b^{n-1} + \ldots + b + 1\right)

остаток долгауменьшение долгапроценты

S

910

r

20\%

n

3

910 \cdot 1{,}2^{3} = X\left(1{,}2^{2} + 1{,}2 + 1\right)

X = \frac{910 \cdot 1{,}2^{3}}{3{,}64} = 432

\text{сумма платежей} = 3X = 1296

Все платежи равны

X = 432

. Проценты:

182

в первый год,

72

в последний.

Над каждым годом — платёж, все платежи равны. Оранжевая часть — проценты, светло-оранжевая — уменьшение долга. Двигайте ползунки

S

r

n

n равных платежей

Каждый год долг умножают на $b$ и вычитают $X$ . После $n$ лет кредит вырос бы до $Sb^n$ , а платёж года $k$ — до $Xb^{n-k}$ . Долг равен нулю, поэтому $Sb^n = X(b^{n-1} + \ldots + b + 1)$ . Для трёх лет: $Sb^3 = X(b^2 + b + 1)$ .

В скобках — сумма геометрической прогрессии $\frac{b^n - 1}{b - 1}$ , отсюда $X = \frac{Sb^n(b - 1)}{b^n - 1}$ . Сумма платежей — $nX$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 545000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 40 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Правильный ответ

1029000

Пояснение

$b = 1{,}4$ , три равных платежа: $545\,000 \cdot 1{,}4^3 = X(1{,}4^2 + 1{,}4 + 1)$ .
$1{,}4^3 = 2{,}744$ , $1{,}96 + 1{,}4 + 1 = 4{,}36$ : $X = \frac{545\,000 \cdot 2{,}744}{4{,}36} = 125\,000 \cdot 2{,}744 = 343\,000$ .
Банку выплатят $3 \cdot 343\,000 = 1\,029\,000$ рублей. Ответ: 1029000.

Множитель — обыкновенной дробью

Числа в задачах подобраны под дробный множитель: $1{,}2 = \frac{6}{5}$ , $1{,}25 = \frac{5}{4}$ , $1{,}1 = \frac{11}{10}$ . Запишите $b = \frac{p}{q}$ и умножьте обе части уравнения на $q^n$ : останутся целые числа, и деление пройдёт без остатка.

Пример

Кредит 910 тыс. рублей гасят тремя равными платежами, каждый январь долг растёт на $20\%$ . Найдите платёж в тысячах рублей.

1. $b = \frac{6}{5}$ : $910 \cdot \frac{6^3}{5^3} = X\left(\frac{6^2}{5^2} + \frac{6}{5} + 1\right)$ .
2.Умножьте на $5^3 = 125$ : $910 \cdot 216 = X(36 \cdot 5 + 6 \cdot 25 + 125) = 455X$ .
3. $910 : 455 = 2$ , поэтому $X = 2 \cdot 216 = 432$ .

Ответ: $432$

Две схемы: какая выгоднее

Посчитайте сумму платежей каждой схемы. При равных платежах она равна $nX$ , при равномерном убывании долга — $S + \frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$ (сумма платежей). Ставку берите вместе с её периодом: годовую — с числом лет, месячную — с числом месяцев. Выгоднее схема с меньшей суммой, а ответ «на сколько меньше» — разность сумм.

Пример

Кредит 2100 тыс. рублей на 2 года. Вариант 1: каждый январь долг растёт на $10\%$ , кредит гасят двумя равными платежами. Вариант 2: 1-го числа каждого месяца долг растёт на $1\%$ , каждый месяц долг на одну и ту же величину меньше, кредит погашен за 24 месяца. На сколько тысяч рублей меньше сумма платежей по выгодному варианту?

1.Вариант 1: $2100 \cdot 1{,}1^2 = 2{,}1X$ , $X = 1210$ , сумма $2 \cdot 1210 = 2420$ .
2.Вариант 2: $2100 + 0{,}01 \cdot 2100 \cdot \frac{24 + 1}{2} = 2100 + 262{,}5 = 2362{,}5$ .
3.Выгоднее вариант 2, разность: $2420 - 2362{,}5 = 57{,}5$ .

Ответ: $57{,}5$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать