тема 5 из 11

Кредит с дифференцированными платежами

В дифференцированной схеме долг после каждого платежа меньше на одну и ту же величину $d = \frac{S}{n}$ . Платёж — это $d$ плюс проценты на долг начала периода, поэтому платежи убывают как арифметическая прогрессия. Сумма всех платежей равна $S + \frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$ .

Главная тема в задании13На карте навыков

Кредит с дифференцированными платежами
—В аналитике

Долг убывает на одну и ту же величину

Кредит $S$ на $n$ периодов (лет или месяцев), $r\%$ за период, $b = 1 + \frac{r}{100}$ . После каждого платежа долг меньше прежнего на $d = \frac{S}{n}$ .

Долг на начало периода $k$ : $S - (k - 1)d$ .
Платёж: $X_k = d + \frac{r}{100}(S - (k - 1)d)$ . Первый $X_1 = d + \frac{r}{100}S$ , последний $X_n = d \cdot b$ .
Каждый следующий платёж меньше прошлого на $\frac{r}{100}d$ .
Сумма платежей: $S + \frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$ .

Долги и платежи по периодам

Период	Долг на начало	Проценты	Платёж
1	$S$	$\frac{r}{100}S$	$d + \frac{r}{100}S$
2	$S - d$	$\frac{r}{100}(S - d)$	$d + \frac{r}{100}(S - d)$
…	…	…	…
$n$	$d$	$\frac{r}{100}d$	$d \cdot b$

Платежи — убывающая арифметическая прогрессия

Платёж периода $k$ равен $d$ плюс проценты на долг начала периода: $X_k = d + \frac{r}{100}(S - (k - 1)d)$ . Проценты берут с остатка, а не с кредита (платёж — проценты плюс уменьшение долга). Долг каждый раз меньше на $d$ , поэтому платёж каждый раз меньше на $\frac{r}{100}d$ .

Первый платёж — наибольший, последний — наименьший: $X_n = d \cdot b$ . Условие «последний платёж не менее $A$ » — это неравенство $\frac{S}{n} \cdot b \ge A$ .

Пример

Кредит 1200 тыс. рублей на 4 года. Каждый январь долг растёт на $10\%$ , каждый июль долг на одну и ту же величину меньше, чем в прошлом июле. Найдите все платежи в тысячах рублей.

1. $d = 1200 : 4 = 300$ . Долги на начало лет: 1200, 900, 600, 300.
2. $X_1 = 300 + 120 = 420$ , $X_2 = 300 + 90 = 390$ , $X_3 = 300 + 60 = 360$ .
3. $X_4 = 300 \cdot 1{,}1 = 330$ . Платежи убывают на $0{,}1 \cdot 300 = 30$ .

Ответ: 420, 390, 360 и 330

Платежи при равномерном убывании долга

X_k = \frac{S}{n} + \frac{r}{100} \cdot D_{k-1}

остаток долгауменьшение долгапроценты

S

1200

r

10\%

n

4

d = \frac{S}{n} = \frac{1200}{4} = 300

X_1 = d + \frac{10}{100} \cdot 1200 = 420, \quad X_{4} = d \cdot 1{,}1 = 330

\text{сумма платежей} = S + \frac{10}{100} \cdot S \cdot \frac{4 + 1}{2} = 1500

Долг каждый год падает на

d = 300

. Каждый следующий платёж меньше прошлого на

\frac{10}{100} \cdot d = 30

Синяя часть столбца — остаток долга, светло-оранжевая — уменьшение долга

d

, оранжевая — проценты. Светло-оранжевые части всех лет равны. Двигайте ползунки

S

r

n

Сумма всех платежей

Сумма платежей равна $S$ плюс $\frac{r}{100}$ от суммы долгов на начало периодов. Эти долги $S, S - d, \ldots, d$ — арифметическая прогрессия из $n$ членов, её сумма $\frac{(S + d) \cdot n}{2} = \frac{S(n + 1)}{2}$ (сумма прогрессии).

Поэтому сумма платежей равна $S + \frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$ . Ошибка — взять проценты с полного кредита за каждый год: так получится $S + \frac{r}{100} \cdot S \cdot n$ .

Пример

Кредит 6 млн рублей на 5 лет. Каждый январь долг растёт на $10\%$ , каждый июль долг на одну и ту же величину меньше, чем в прошлом июле. Найдите сумму всех платежей в миллионах рублей.

1.Сумма долгов на начало лет: $\frac{6 \cdot (5 + 1)}{2} = 18$ .
2.Проценты: $0{,}1 \cdot 18 = 1{,}8$ .
3.Сумма платежей: $6 + 1{,}8 = 7{,}8$ .

Ответ: $7{,}8$

Переплата

Переплата — сумма платежей минус кредит, то есть все проценты: $\frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}$ . Если известны переплата и две величины из трёх ( $S$ , $r$ , $n$ ), третья находится из линейного уравнения: так находят срок кредита и ставку.

Платежи за один календарный год

Сначала найдите номера месяцев этого года. Кредит взят 15 декабря, поэтому январь следующего года — месяц 1, декабрь — месяц 12, январь ещё через год — месяц 13.

Двенадцать платежей года уменьшают долг на $12d$ . Проценты года — $\frac{r}{100}$ от суммы двенадцати долгов на начало этих месяцев. Эти долги тоже арифметическая прогрессия: сложите первый и последний и умножьте на $\frac{12}{2}$ .

Пример

15 декабря 2026 года взяли кредит 12 млн рублей на 24 месяца. 1-го числа каждого месяца долг растёт на $2\%$ , 15-го числа каждого месяца долг на одну и ту же величину меньше, чем 15-го числа прошлого месяца. Найдите сумму платежей за 2028 год в миллионах рублей.

1. $d = 12 : 24 = 0{,}5$ . 2028 год — месяцы 13–24.
2.Долг на начало месяца 13: $12 - 12 \cdot 0{,}5 = 6$ , месяца 24: $0{,}5$ . Сумма двенадцати долгов: $\frac{(6 + 0{,}5) \cdot 12}{2} = 39$ .
3.Проценты: $0{,}02 \cdot 39 = 0{,}78$ . Уменьшение долга: $12 \cdot 0{,}5 = 6$ .
4.Платежи за год: $6 + 0{,}78 = 6{,}78$ .

Ответ: $6{,}78$

Долг убывает равномерно не до нуля

Иногда долг убывает на одну и ту же величину $d$ только до остатка $D$ , а остаток гасят одним платежом $D \cdot b$ в последний период. Тогда $d = \frac{S - D}{m}$ , где $m$ — число равных шагов.

Долги на начало периодов $S, S - d, \ldots, D$ — прогрессия из $m + 1$ членов, её сумма $\frac{(S + D)(m + 1)}{2}$ . Сумма платежей по-прежнему равна $S + \frac{r}{100}$ от суммы долгов.

Пример

15 декабря взяли кредит 1000 тыс. рублей на 11 месяцев. 1-го числа каждого месяца долг растёт на $2\%$ . 15-го числа месяцев с 1-го по 10-й долг на одну и ту же величину меньше, чем 15-го числа прошлого месяца. 15-го числа 10-го месяца долг равен 300 тыс. рублей, в 11-м месяце его гасят полностью. Найдите сумму всех платежей в тысячах рублей.

1.Долги на начало месяцев 1–11: от 1000 до 300, это 11 членов. Сумма: $\frac{(1000 + 300) \cdot 11}{2} = 7150$ .
2.Проценты: $0{,}02 \cdot 7150 = 143$ .
3.Сумма платежей: $1000 + 143 = 1143$ .

Ответ: $1143$

Два этапа с разным шагом

Бывает, что первые 5 лет долг убывает на одну величину, а следующие 5 лет — на другую. Сумму долгов считайте по этапам: каждый этап — своя арифметическая прогрессия. Долг в конце первого этапа — первый член второго этапа. Если какой-то долг неизвестен, обозначьте его буквой и выразите через неё шаг этапа.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1400 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Правильный ответ

300000

Пояснение

Долг в июле 2030 года неизвестен: обозначим его $D$ тыс. рублей.
Первый этап, 2026–2030 годы: долг убывает от 1400 до $D$ на $d = \frac{1400 - D}{5}$ в год. Долги на начало лет: $1400, 1400 - d, \ldots, 1400 - 4d$ , их сумма $7000 - 10d = 7000 - 2(1400 - D) = 4200 + 2D$ .
Второй этап, 2031–2035 годы: долг убывает от $D$ до 0 на $\frac{D}{5}$ в год. Долги на начало лет: $D, \frac{4D}{5}, \frac{3D}{5}, \frac{2D}{5}, \frac{D}{5}$ , их сумма $3D$ .
Сумма платежей: $1400 + 0{,}1(4200 + 2D + 3D) = 1820 + 0{,}5D = 2120$ , откуда $D = 600$ .
Платёж 2026 года — уменьшение долга плюс проценты: $\frac{1400 - 600}{5} + 0{,}1 \cdot 1400 = 160 + 140 = 300$ тыс. рублей. Ответ: 300000.

Разные ставки в разные годы

Если ставка меняется, проценты каждого года берут по ставке этого года. Сумма процентов: $\frac{r_1}{100}$ от суммы долгов лет с первой ставкой плюс $\frac{r_2}{100}$ от суммы долгов остальных лет.

Пример

Кредит 600 тыс. рублей на 4 года, долг каждый июль на одну и ту же величину меньше, чем в прошлом июле. В первые два года долг растёт на $10\%$ , в следующие два — на $20\%$ . Найдите сумму всех платежей в тысячах рублей.

1. $d = 150$ . Долги на начало лет: 600, 450, 300, 150.
2.Проценты: $0{,}1 \cdot (600 + 450) + 0{,}2 \cdot (300 + 150) = 105 + 90 = 195$ .
3.Сумма платежей: $600 + 195 = 795$ .

Ответ: $795$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать