тема 4 из 11

Платёж и остаток долга по графику

Каждый год кредита — два шага: долг растёт на $r\%$ , потом платёж его уменьшает. Платёж состоит из процентов на долг начала года и уменьшения долга. Сумма всех платежей равна кредиту плюс все проценты.

Главная тема в задании13На карте навыков

Платёж и остаток долга
—В аналитике

Год кредита: начисление, потом платёж

$D_k$ — долг после платежа года $k$ , $D_0 = S$ — кредит, $b = 1 + \frac{r}{100}$ . За год долг растёт до $D_{k-1}b$ , потом платёж $X_k$ его уменьшает: $D_k = D_{k-1}b - X_k$ .

Платёж — это проценты плюс уменьшение долга: $X_k = \frac{r}{100}D_{k-1} + (D_{k-1} - D_k)$ .
Последний платёж гасит весь выросший долг: $X_n = D_{n-1}b$ .
Сумма платежей — это кредит плюс все проценты: $S + \frac{r}{100}(D_0 + D_1 + \ldots + D_{n-1})$ .
Ответ — одно число в тех единицах, которые просит условие: рубли или тысячи рублей. Как записать ответ.

Долг год за годом

В январе долг умножают на $b$ (начисление), с февраля по июнь вычитают платёж. В июле остаётся $D_k = D_{k-1}b - X_k$ . Так идут год за годом, пока долг не станет нулём.

Если в условии «1-го числа каждого месяца» и «15-го числа», шаг — месяц, а $r$ — процент за месяц. Схема та же.

Пример

В июле взяли кредит 300 тыс. рублей. Каждый январь долг растёт на $10\%$ , с февраля по июнь вносят один платёж. Кредит погашен за два года, первый платёж — 200 тыс. рублей. Найдите второй платёж в тысячах рублей.

1.Первый год: $300 \cdot 1{,}1 = 330$ , после платежа $330 - 200 = 130$ .
2.Второй год: долг вырос до $130 \cdot 1{,}1 = 143$ , и последний платёж гасит его целиком.

Ответ: $143$

График долга в буквах

Год	Долг до начисления	После начисления	Платёж	Долг после платежа
1	$S$	$Sb$	$X_1$	$D_1 = Sb - X_1$
2	$D_1$	$D_1 b$	$X_2$	$D_2 = D_1 b - X_2$
…	…	…	…	…
$n$	$D_{n-1}$	$D_{n-1}b$	$X_n = D_{n-1}b$	$0$

Платёж = проценты + уменьшение долга

Проценты года равны $\frac{r}{100}D_{k-1}$ : их берут с долга на начало года, а не с первоначального кредита. Остальная часть платежа уменьшает долг: $X_k = \frac{r}{100}D_{k-1} + (D_{k-1} - D_k)$ .

Если долг за год не изменился, платёж равен одним процентам. Если долг уменьшился на $d$ , платёж больше процентов на $d$ .

Пример

В июле долг был 600 тыс. рублей, через год, в июле, — 400 тыс. рублей. Каждый январь долг растёт на $10\%$ . Найдите платёж этого года в тысячах рублей.

1.Проценты: $0{,}1 \cdot 600 = 60$ .
2.Уменьшение долга: $600 - 400 = 200$ .
3.Платёж: $60 + 200 = 260$ . Проверка: $600 \cdot 1{,}1 - 260 = 400$ .

Ответ: $260$

Долг и платежи по годам

X_k = \frac{S}{n} + \frac{r}{100} \cdot D_{k-1}

остаток долгауменьшение долгапроценты

S

600

r

20\%

n

3

d = \frac{S}{n} = \frac{600}{3} = 200

X_1 = d + \frac{20}{100} \cdot 600 = 320, \quad X_{3} = d \cdot 1{,}2 = 240

\text{сумма платежей} = S + \frac{20}{100} \cdot S \cdot \frac{3 + 1}{2} = 840

Долг каждый год падает на

d = 200

. Каждый следующий платёж меньше прошлого на

\frac{20}{100} \cdot d = 40

Столбец 0 — кредит

S

, столбец года — долг после начисления. Синяя часть — остаток после платежа, светло-оранжевая — уменьшение долга, оранжевая — проценты; платёж — обе оранжевые части. Переключайте схему и двигайте ползунки.

Сумма всех платежей

Сложите платежи всех лет по формуле платежа. Все уменьшения долга вместе дают весь кредит $S$ , а проценты — $\frac{r}{100}(D_0 + D_1 + \ldots + D_{n-1})$ . Поэтому сумма платежей равна $S + \frac{r}{100}(D_0 + D_1 + \ldots + D_{n-1})$ , а переплата — это сумма процентов.

Формула удобна, когда известны долги каждого июля. Когда долг убывает равномерно, сумма долгов — сумма арифметической прогрессии.

Пример

Кредит 900 тыс. рублей на три года. Каждый январь долг растёт на $20\%$ . Долг в июле: 900, 700, 300 и 0 тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей в тысячах рублей.

1.Долги на начало лет: $900 + 700 + 300 = 1900$ .
2.Проценты: $0{,}2 \cdot 1900 = 380$ .
3.Сумма платежей: $900 + 380 = 1280$ . Проверка по годам: $380 + 540 + 360 = 1280$ .

Ответ: $1280$

Годы, когда платят только проценты

Если долг в июле остаётся равным $S$ , заёмщик платит только проценты: $X = \frac{r}{100}S$ каждый такой год. Потом долг $S$ гасят равными платежами, их находят из $Sb^2 = X(b + 1)$ (два равных платежа).

«Льготный кредит» в банке ФИПИ устроен так же: «в середине года долг возрастает на $r\%$ », «в конце года заёмщик выплачивает только проценты».

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1260 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1260 тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму платежей за пять лет.

Ответ дайте в тысячах рублей.

Правильный ответ

1830

Пояснение

2027–2029 годы: долг остаётся 1260, платят только проценты: $0{,}1 \cdot 1260 = 126$ в год, всего $3 \cdot 126 = 378$ .
2030–2031 годы: два равных платежа $X$ , $b = 1{,}1$ : $1260 \cdot 1{,}1^2 = X(1{,}1 + 1)$ , то есть $1524{,}6 = 2{,}1X$ , $X = 726$ .
Сумма платежей: $378 + 2 \cdot 726 = 1830$ . Ответ: 1830.

Неизвестный платёж в цепочке

Если платежи неизвестны, обозначьте их через $x$ и проведите долг год за годом. Последний платёж равен всему выросшему долгу: $X_n = D_{n-1}b$ . Если последний платёж дан, это уравнение для $x$ . Если дана сумма всех платежей, сложите $x$ и последний платёж, выраженный через $x$ .

Пример

Кредит 500 тыс. рублей на три года. Каждый январь долг растёт на $20\%$ . Платежи первого и второго года равны, платёж третьего года — 336 тыс. рублей. Найдите платёж первого года в тысячах рублей.

1.После первого года: $500 \cdot 1{,}2 - x = 600 - x$ .
2.После второго: $(600 - x) \cdot 1{,}2 - x = 720 - 2{,}2x$ .
3.Третий платёж: $(720 - 2{,}2x) \cdot 1{,}2 = 864 - 2{,}64x = 336$ .
4. $2{,}64x = 528$ , $x = 200$ .

Ответ: $200$

Долг задан таблицей

Если таблица задаёт долг каждого июля как часть кредита, платёж года $k$ — выросший долг минус новый долг: $X_k = D_{k-1}b - D_k$ . Выразите все платежи через $S$ и наложите условие на каждый из них.

Условие «каждая выплата меньше $A$ » сводится к самому большому платежу. Если $S$ — целое число, возьмите наибольшее целое, при котором неравенство строгое.

Пример

Кредит $S$ млн рублей на три года, $S$ — целое число. Каждый январь долг растёт на $20\%$ . Долг в июле: $S$ , $0{,}6S$ , $0{,}3S$ , 0. Найдите наибольшее $S$ , при котором каждая выплата меньше 4 млн рублей.

1. $X_1 = 1{,}2S - 0{,}6S = 0{,}6S$ .
2. $X_2 = 1{,}2 \cdot 0{,}6S - 0{,}3S = 0{,}42S$ .
3. $X_3 = 1{,}2 \cdot 0{,}3S = 0{,}36S$ .
4.Наибольший платёж — первый: $0{,}6S < 4$ , $S < 6\frac{2}{3}$ , наибольшее целое $S = 6$ .

Ответ: $6$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать