тема 9 из 11

Вклады и начисление процентов

Вклад растёт так же, как долг по кредиту: каждое начисление процентов умножает сумму на один и тот же множитель. Пополнение прибавляют, снятие вычитают в тот момент года, который указан в условии. Каждый взнос растёт столько раз, сколько начислений он застал.

Реже в задании13На карте навыков

Вклад: начисления, взносы и снятия по порядку

Начисление процентов умножает сумму на $b = 1 + \frac{r}{100}$ (множитель). Проценты остаются на счёте, поэтому после $n$ начислений сумма вырастает в $b^n$ раз (рост n раз).

Найдите в условии порядок событий за год: начисление, потом взнос или снятие — или наоборот.
Каждый взнос умножьте на $b$ столько раз, сколько начислений он застал.
Равные снятия до нуля — та же модель, что равные платежи по кредиту.
«Больше», «не менее» дают неравенство, а «целое число» — округление в сторону условия (неравенство).

Равные снятия до нуля

Снять со счёта сумму $X$ после начисления — то же, что заплатить банку платёж $X$ : на счёте остаётся $Sb - X$ . Если после $n$ равных снятий на счёте 0, то $Sb^n = X(b^{n-1} + \ldots + b + 1)$ (та же формула). Отсюда $X = \frac{Sb^n}{b^{n-1} + \ldots + b + 1}$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этому счёту таковы:
-  1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819000 рублей;
-  30 июня сумма на счёте увеличивается на 20% по сравнению с суммой, находящейся на счёте 29 июня;
-  1 июля 2027, 2028, 2029 годов Андрей снимает со счёта одну и ту же фиксированную сумму;
-  1 июля 2029 года на счёте не должно остаться денег.
Найдите сумму, которую должен будет снимать со счёта Андрей каждый год.

Правильный ответ

388800

Пояснение

$b = 1{,}2$ . После трёх снятий на счёте 0: $819\,000 \cdot 1{,}2^3 = X(1{,}2^2 + 1{,}2 + 1)$ .
$819\,000 \cdot 1{,}728 = 1\,415\,232$ и $1{,}44 + 1{,}2 + 1 = 3{,}64$ .
$X = 1\,415\,232 : 3{,}64 = 388\,800$ . Ответ: 388800.

Начальный вклад по снятиям

Если снятия известны, а вклад нет, верните каждое снятие ко дню открытия вклада. Снятие $X$ , сделанное после $k$ начислений, стоит в день открытия $\frac{X}{b^k}$ . Вклад равен сумме этих значений: $S = \frac{X}{b} + \frac{X}{b^2} + \ldots + \frac{X}{b^n}$ .

Если дано, сколько сняли всего, каждое из $n$ равных снятий равно всей сумме, делённой на $n$ .

Пример

В июле открыли вклад под 25% годовых. В начале второго и третьего годов со вклада снимают одну и ту же сумму, после второго снятия на вкладе 0 рублей. Всего сняли 450 000 рублей. Найдите исходную сумму вклада.

1.Каждое снятие: $450\,000 : 2 = 225\,000$ рублей. Первое снятие застало одно начисление, второе — два.
2. $S = \frac{225\,000}{1{,}25} + \frac{225\,000}{1{,}25^2} = 180\,000 + 144\,000 = 324\,000$ .

Ответ: $324\,000$

Пополнения: каждый взнос растёт свои годы

Через $n$ лет начальный вклад равен $Sb^n$ . Взнос $A$ , который застал $k$ начислений, превращается в $Ab^k$ . Итог — сумма этих слагаемых. Взнос в начале года застаёт начисление этого года, взнос после начисления — нет.

Пример

Вклад открывают на три года. Первоначальный вклад — целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале второго и третьего годов вклад пополняют на 2 млн рублей. Найдите наименьший первоначальный вклад, при котором через три года вклад будет больше 15 млн рублей.

1.Вклад $S$ застаёт три начисления: $1{,}2^3 S = 1{,}728S$ .
2.Взнос в начале второго года застаёт два начисления: $2 \cdot 1{,}2^2 = 2{,}88$ . Взнос в начале третьего — одно: $2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4$ .
3. $1{,}728S + 5{,}28 > 15$ , $S > \frac{9{,}72}{1{,}728} = 5{,}625$ .
4.Наименьшее целое $S$ — 6.

Ответ: $6$

Реинвестирование: проценты и вложения остаются в проекте

Если начисленные проценты не забирают, на следующий год проценты начисляют и на них. Дополнительное вложение сразу после начисления прибавьте к сумме: за год $D \to Db + A$ . Такое вложение застаёт только начисления следующих лет.

Если неизвестных два и второе ищут «при найденном значении» первого, найдите первое, подставьте его в сумму и только потом ищите второе.

Пример

Четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 30 млн рублей. По итогам каждого года вложенные средства растут на 10% по сравнению с началом года, начисленные проценты остаются в проекте. Сразу после начисления процентов нужны дополнительные вложения: целое число $n$ млн рублей в первый и во второй годы и целое число $m$ млн рублей в третий и в четвёртый годы. Найдите наименьшее $n$ , при котором за два года вложения как минимум удвоятся, и наименьшее $m$ , при котором при найденном $n$ за четыре года вложения вырастут как минимум в четыре раза.

1.После первого года: $30 \cdot 1{,}1 + n = 33 + n$ . После второго: $(33 + n) \cdot 1{,}1 + n = 36{,}3 + 2{,}1n$ .
2. $36{,}3 + 2{,}1n \ge 60$ , $n \ge \frac{23{,}7}{2{,}1} \approx 11{,}3$ , поэтому $n = 12$ . Через два года: $36{,}3 + 25{,}2 = 61{,}5$ млн.
3.После четвёртого года: $(61{,}5 \cdot 1{,}1 + m) \cdot 1{,}1 + m = 74{,}415 + 2{,}1m$ .
4. $74{,}415 + 2{,}1m \ge 120$ , $m \ge \frac{45{,}585}{2{,}1} \approx 21{,}7$ , поэтому $m = 22$ .

Ответ: $n = 12$ , $m = 22$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать