тема 10 из 13

Формула полной вероятности и формула Байеса

Событие $A$ может наступить по разным причинам — гипотезам $H_1$ , $H_2$ , которые не пересекаются и вместе покрывают все случаи. Тогда $P(A) = P(H_1) P(A \mid H_1) + P(H_2) P(A \mid H_2)$ : на дереве это сумма путей, которые ведут к $A$ . Формула Байеса решает обратную задачу: $A$ уже произошло, и нужна вероятность гипотезы. Её путь делят на $P(A)$ .

Реже в задании5На карте навыков

Формула полной вероятности и формула Байеса
—В аналитике

Сложите пути к событию

Гипотезы $H_1$ и $H_2$ несовместны, и $P(H_1) + P(H_2) = 1$ . Тогда $P(A) = P(H_1) \cdot P(A \mid H_1) + P(H_2) \cdot P(A \mid H_2)$ .

Найдите гипотезы: на какие группы делится всё (исправна или нет, первая или вторая фабрика).
Нарисуйте дерево: гипотезы на первом шаге, событие $A$ на втором.
Перемножьте ветви каждого пути к $A$ и сложите пути. Гипотез может быть больше двух: в сумме столько слагаемых, сколько путей.
Если $A$ уже произошло, вероятность гипотезы — доля её пути: $P(H_1 \mid A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A \mid H_1)}{P(A)}$ .

Две гипотезы: исправна или нет

Батарейку бракуют в двух случаях: она неисправна и система её поймала, или она исправна, но система ошиблась. Это два пути дерева, и вероятность брака — их сумма.

Вероятность исправной батарейки — $1 - P(\text{неисправна})$ (противоположное событие). «Вероятность забраковать исправную» — это $P(A \mid H_2)$ : её умножают на вероятность исправной, а не прибавляют.

Пример

Вероятность того, что батарейка неисправна, равна $0{,}04$ . Система контроля бракует неисправную батарейку с вероятностью $0{,}95$ , а исправную по ошибке — с вероятностью $0{,}02$ . Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.

1.Гипотезы: неисправна $0{,}04$ , исправна $1 - 0{,}04 = 0{,}96$ .
2.Путь «неисправна → забракована»: $0{,}04 \cdot 0{,}95 = 0{,}038$ .
3.Путь «исправна → забракована»: $0{,}96 \cdot 0{,}02 = 0{,}0192$ .
4. $P = 0{,}038 + 0{,}0192 = 0{,}0572$ .

Ответ: $0{,}0572$

Пути к событию на дереве гипотез

Какова вероятность, что батарейку забракуют?

пути к событию «забракована»

Неисправна

0{,}1

Забракована, если неисправна

0{,}9

Забракована, если исправна

0{,}1

P(A) = 0{,}1 \cdot 0{,}9 + 0{,}9 \cdot 0{,}1

= 0{,}09 + 0{,}09 = 0{,}18

К событию «забракована» ведут два пути:

0{,}09

через «неисправна» и

0{,}09

через «исправна». Пути складывают:

P(A) = 0{,}18

Первый шаг — гипотезы, второй — забракуют батарейку или нет. На ветвях — их вероятности. Ползунки меняют ветви, кнопки переключают вопрос.

Доли выпуска — вероятности гипотез

Если две фабрики выпускают $30\%$ и $70\%$ товара, то случайно купленная вещь сделана на первой с вероятностью $0{,}3$ , на второй — $0{,}7$ . Процент брака каждой фабрики — условная вероятность брака при этой гипотезе. Переведите проценты в десятичные дроби и сложите пути.

Пример

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для фар. Первая выпускает $40\%$ стёкол, вторая — $60\%$ . Первая фабрика выпускает $3\%$ бракованных стёкол, вторая — $2\%$ . Найдите вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным.

1.Гипотезы: первая фабрика $0{,}4$ , вторая $0{,}6$ .
2.Пути к браку: $0{,}4 \cdot 0{,}03 = 0{,}012$ и $0{,}6 \cdot 0{,}02 = 0{,}012$ .
3. $P = 0{,}012 + 0{,}012 = 0{,}024$ .

Ответ: $0{,}024$

Неизвестна вероятность гипотезы

Иногда известна полная вероятность $P(A)$ , а вероятность гипотезы — нет. Обозначьте $P(H_1) = x$ , тогда $P(H_2) = 1 - x$ . Формула полной вероятности даёт уравнение $x \cdot P(A \mid H_1) + (1 - x) \cdot P(A \mid H_2) = P(A)$ .

Пример

Магазин закупает молоко на двух фермах. На первой ферме $90\%$ молока высшего сорта, на второй — $50\%$ . Всего высшего сорта $80\%$ молока. Найдите вероятность того, что купленное в магазине молоко — с первой фермы.

1. $P(\text{первая}) = x$ , $P(\text{вторая}) = 1 - x$ .
2. $0{,}9x + 0{,}5(1 - x) = 0{,}8$ .
3. $0{,}4x = 0{,}3$ , $x = 0{,}75$ .

Ответ: $0{,}75$

Формула Байеса: событие уже произошло

Если известно, что $A$ произошло, остаются только пути, которые ведут к $A$ . Вероятность гипотезы — доля её пути среди них: $P(H_1 \mid A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A \mid H_1)}{P(A)}$ . Это та же условная вероятность: $P(H_1 \cap A)$ делят на $P(A)$ .

$P(A \mid H_1)$ и $P(H_1 \mid A)$ — разные числа. Система ловит $90\%$ неисправных, но среди забракованных доля неисправных может быть намного меньше.

Пример

Вероятность того, что батарейка неисправна, равна $0{,}1$ . Система бракует неисправную батарейку с вероятностью $0{,}9$ , а исправную — с вероятностью $0{,}1$ . Батарейку забраковали. Найдите вероятность того, что она неисправна.

1.Путь «неисправна → забракована»: $0{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}09$ .
2.Путь «исправна → забракована»: $0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}09$ .
3. $P(A) = 0{,}09 + 0{,}09 = 0{,}18$ .
4. $P(\text{неисправна} \mid A) = \frac{0{,}09}{0{,}18} = 0{,}5$ .

Ответ: $0{,}5$

Пути разной длины

Гипотезами могут быть и разные ходы опыта: событие получилось за один, два или три шага. Каждый ход — путь по дереву, его вероятность — произведение ветвей. Условие оставляет только пути, которые к нему ведут, и вероятность хода — доля его пути в их сумме.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Игральный кубик бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.

Правильный ответ

0,24

Пояснение

Сумма 3 получается тремя путями: один бросок (выпало 3), два броска ( $1 + 2$ или $2 + 1$ ), три броска ( $1 + 1 + 1$ ).
Вероятности путей: $\frac{1}{6} = \frac{36}{216}$ , $2 \cdot \frac{1}{36} = \frac{12}{216}$ , $\frac{1}{6^3} = \frac{1}{216}$ .
Все пути к сумме 3: $\frac{36 + 12 + 1}{216} = \frac{49}{216}$ .
Доля пути с двумя бросками: $\frac{12}{49} = 0{,}2448\ldots$ . Округлите до сотых. Ответ: $0{,}24$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать