тема 13 из 13

Наименьшее число испытаний

Стрелок стреляет до первого попадания. С $n$ патронами он не поразит цель, только если промахнётся все $n$ раз, поэтому цель поражена с вероятностью $1 - q^n$ , где $q$ — вероятность промаха. Наименьшее $n$ находят перебором: считают $q, q^2, q^3, \ldots$ , пока степень не станет не больше $1 - P$ .

Реже в задании5На карте навыков

Наименьшее число испытаний
—В аналитике

Наименьшее n перебором

За $n$ независимых выстрелов цель поражена хотя бы раз с вероятностью $1 - q^n$ . Нужно наименьшее $n$ , при котором $1 - q^n \ge P$ , то есть $q^n \le 1 - P$ .

Найдите вероятность промаха: $q = 1 - p$ .
Найдите, какой может быть вероятность промахнуться все разы: $1 - P$ .
Считайте $q, q^2, q^3, \ldots$ , пока степень не станет меньше или равна $1 - P$ . Показатель этой степени — ответ.
«Не менее» и «не меньше» означают $\ge$ : равенство подходит.

Сколько выстрелов нужно

Вероятность попадания 0,2. Сколько нужно выстрелов, чтобы поразить цель с вероятностью не менее 0,4?

не хватает
наименьшее число
тоже хватает

Попадание одним выстрелом

0{,}2

Нужная вероятность поразить цель

0{,}4

\text{Промах: } q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8

1 - q^n \ge 0{,}4 \iff q^n \le 1 - 0{,}4 = 0{,}6

n = 2: \; 0{,}8^{2} = 0{,}64 > 0{,}6

n = 3: \; 0{,}8^{3} = 0{,}512 \le 0{,}6

Нужно

3

выстрела: столбик

3

первым достаёт до линии

0{,}4

. Каждый выстрел умножает вероятность промахнуться все разы на

0{,}8

Столбик над числом

n

— вероятность попасть хотя бы раз за

n

выстрелов, пунктир — нужная вероятность. Двигайте ползунки: ответ — первый столбик, который достаёт до пунктира.

Перебор степеней

При $0 < q < 1$ степени $q^n$ убывают: каждый новый выстрел умножает вероятность промахнуться все разы на $q$ . Поэтому первая степень, которая не больше $1 - P$ , и даёт наименьшее $n$ . Число патронов равно числу выстрелов: если стрелок попал раньше, лишние патроны остаются.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,4?

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать