тема 6 из 13

Сложение вероятностей несовместных событий

События несовместны, если они не могут наступить вместе. Вероятность того, что наступит одно из несовместных событий, равна сумме их вероятностей. Сложное событие разбивают на несовместные варианты, находят вероятность каждого и складывают. Если события могут наступить вместе, из суммы вычитают вероятность того, что наступят оба.

Часто в задании5На карте навыков

Сложение вероятностей несовместных событий
—В аналитике

Несовместные события: вероятности складывают

Если события $A$ и $B$ не могут наступить вместе, то $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Здесь $A \cup B$ — событие «наступит $A$ или $B$ ».

Разбейте нужное событие на варианты, которые не могут наступить вместе.
Найдите вероятность каждого варианта. Вариант из нескольких независимых исходов — произведение их вероятностей.
Сложите вероятности вариантов.
Если события могут наступить вместе, вычтите вероятность того, что наступят оба: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Ровно одно из двух

«Ровно одно из двух» состоит из двух несовместных вариантов: наступит $A$ , но не $B$ , или наступит $B$ , но не $A$ . Для независимых событий $P = P(A)\big(1 - P(B)\big) + \big(1 - P(A)\big)P(B)$ .

Порядок тоже даёт несовместные варианты. «Один синий и один красный фломастер» — это «сначала синий, потом красный» или «сначала красный, потом синий». Вероятность каждого порядка считают без возвращения, затем складывают.

Пример

Два стрелка стреляют по одному разу по одной мишени. Первый попадает с вероятностью 0,7, второй — с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в мишень попадёт ровно один из них.

1.Попал только первый: $0{,}7 \cdot (1 - 0{,}6) = 0{,}7 \cdot 0{,}4 = 0{,}28$ .
2.Попал только второй: $(1 - 0{,}7) \cdot 0{,}6 = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$ .
3.Варианты несовместны: $0{,}28 + 0{,}18 = 0{,}46$ .

Ответ: $0{,}46$

Ровно одно: сумма двух несовместных частей

A

B

независимы,

P(A) = 0{,}7

P(B) = 0{,}6

. Какова вероятность, что наступит ровно одно?

наступило ровно одноостальные исходы

Ширина левой полосы

P(A)

0{,}7

Высота верхней полосы

P(B)

0{,}6

P = P(A) \cdot P(\bar B) + P(\bar A) \cdot P(B)

P = 0{,}7 \cdot 0{,}4 + 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}28 + 0{,}18 = 0{,}46

Ровно одно наступает в двух синих частях. Они не пересекаются, поэтому их площади

0{,}28

0{,}18

складывают.

Квадрат площади 1 — все исходы двух независимых событий. Площадь каждой части — её вероятность. Двигайте ползунки

P(A)

P(B)

Сумма произведений

В одной задаче часто нужны оба правила. Выпишите все варианты, которые дают нужный результат. Каждый вариант — серия независимых исходов, его вероятность — произведение. Варианты несовместны, поэтому их вероятности складывают.

Если вероятности двух исходов даны, а третий исход не назван (ничья), найдите его вероятность из того, что сумма вероятностей всех исходов одного испытания равна 1.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Правильный ответ

0,33

Пояснение

Ничья: $1 - 0{,}3 - 0{,}3 = 0{,}4$ .
Не меньше 4 очков за две игры дают варианты: выигрыш и ничья (3 + 1), ничья и выигрыш (1 + 3), два выигрыша (3 + 3).
Игры независимы: $0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$ , $0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ , $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$ .
Варианты несовместны: $0{,}12 + 0{,}12 + 0{,}09 = 0{,}33$ . Ответ: 0,33.

Совместные события

Если $A$ и $B$ могут наступить вместе, сумма $P(A) + P(B)$ учитывает общую часть $A \cap B$ дважды. Поэтому $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Событие «ни $A$ , ни $B$ » противоположно $A \cup B$ : его вероятность равна $1 - P(A \cup B)$ . В задачах про автоматы с кофе события зависимы: в людный день кофе кончается в обоих автоматах. Поэтому $P(A \cap B)$ берут из условия, а не перемножают $P(A)$ и $P(B)$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В аэропорту два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равно 0,35. Такова же вероятность того, что кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Правильный ответ

0,46

Пояснение

$A$ — кофе закончится в первом автомате, $B$ — во втором. $P(A) = P(B) = 0{,}35$ , $P(A \cap B) = 0{,}16$ .
Кофе закончится хотя бы в одном автомате: $P(A \cup B) = 0{,}35 + 0{,}35 - 0{,}16 = 0{,}54$ .
Кофе останется в обоих — противоположное событие: $1 - 0{,}54 = 0{,}46$ . Ответ: 0,46.

Хотя бы одно из совместных событий: общую часть вычитают

P(A) = 0{,}35

P(B) = 0{,}35

, оба вместе —

0{,}2

. Какова вероятность, что наступит

A

или

B

Длина синей полосы

P(A)

0{,}35

Длина оранжевой полосы

P(B)

0{,}35

Серая часть: наступят оба

0{,}2

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(A \cup B) = 0{,}35 + 0{,}35 - 0{,}2 = 0{,}5

Серая часть «оба»

0{,}2

входит и в

A

, и в

B

. В сумме она посчитана дважды, поэтому её вычитают один раз.

Отрезок длины 1 — все исходы. Синяя и оранжевая полосы — события

A

B

, серая часть — исходы, где наступают оба. Двигайте ползунки.

Две границы с разных сторон

Если одно событие лежит внутри другого, вероятность их разности равна разности вероятностей (вложенные события). Иногда границы даны с разных сторон: «масса меньше 810 г» и «масса больше 790 г». Эти события совместны, и ни одно не лежит внутри другого.

Тогда разбейте «меньше 810 г» на две несовместные части: «не больше 790 г» и «больше 790 г, но меньше 810 г». Первая часть противоположна событию «больше 790 г», её вероятность равна $1 - P(\text{больше } 790)$ . Нужная часть — разность $P(\text{меньше } 810) - \big(1 - P(\text{больше } 790)\big)$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

Правильный ответ

0,78

Пояснение

«Меньше 810 г» состоит из двух несовместных частей: «не больше 790 г» и «больше 790 г, но меньше 810 г».
«Не больше 790 г» противоположно событию «больше 790 г»: $1 - 0{,}82 = 0{,}18$ .
$P = 0{,}96 - 0{,}18 = 0{,}78$ .
Проверка по формуле для совместных событий: одно из двух событий наступает всегда, поэтому $1 = 0{,}96 + 0{,}82 - P$ , и $P = 0{,}78$ . Ответ: 0,78.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать