тема 9 из 13

Условная вероятность

Условная вероятность $P(A \mid B)$ — это вероятность события $A$ , когда известно, что событие $B$ произошло. Условие сужает опыт: исходы без $B$ вычёркивают и считают долю исходов $A$ среди оставшихся. Если исходы не выписать, пользуются формулой $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ . На дереве опыта ветви второго шага несут условные вероятности, а вероятность пути равна произведению его ветвей.

Реже в задании5На карте навыков

Условная вероятность
—В аналитике

Условие сужает опыт

$P(A \mid B)$ читают «вероятность $A$ при условии $B$ ». $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , где $A \cap B$ — событие «наступили и $A$ , и $B$ ».

Найдите исходы, в которых условие $B$ выполнено. Остальные исходы вычеркните.
Среди оставшихся найдите исходы, в которых наступает $A$ .
Исходы равновозможны: $P(A \mid B) = \frac{m}{n}$ , где $n$ — число исходов с $B$ , $m$ — число исходов с $A$ и $B$ (классическое определение).
Даны доли или вероятности: разделите $P(A \cap B)$ на $P(B)$ .
Запишите ответ десятичной дробью.

Условие вычёркивает исходы

Два броска кости дают $36$ равновозможных исходов (таблица $6 \times 6$ ). Условие «пять очков не выпало ни разу» оставляет только пары без пятёрки: на каждой кости $5$ значений, всего $5 \cdot 5 = 25$ исходов. Они по-прежнему равновозможны, поэтому число нужных исходов делят на $25$ , а не на $36$ .

Нужные исходы ищут только среди оставшихся. Пара, в которой есть вычеркнутое число, не считается, даже если сумма подходит.

Пример

Игральную кость бросили два раза. Известно, что четыре очка не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 7».

1.На каждой кости осталось $5$ значений: $1, 2, 3, 5, 6$ . Исходов $5 \cdot 5 = 25$ .
2.Сумма 7: $(1; 6)$ , $(6; 1)$ , $(2; 5)$ , $(5; 2)$ , $(3; 4)$ , $(4; 3)$ . В двух последних парах есть четвёрка, их вычеркнули. Осталось $4$ пары.
3. $P = \frac{4}{25} = 0{,}16$ .

Ответ: $0{,}16$

Условие вычёркивает клетки таблицы

Кость бросили дважды, пятёрка ни разу не выпала. Какова вероятность, что сумма очков равна 9?

Условие:

подходят
вычеркнуты
остались
подходят, но вычеркнуты

Не выпало ни разу

5

Сумма очков

9

\text{Условие оставило } 25 \text{ клеток из } 36

\text{Подходят } 2 \text{ из них: } P = \frac{2}{25} = 0{,}08

\text{Без условия: } P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 0{,}11

Ещё

2

подходящие клетки вычеркнуты условием, их не считают. Делим на

25

оставшихся клеток, а не на

36

Строка — первый бросок, столбец — второй, в клетке сумма очков. Выберите условие и двигайте ползунки: таблица вычеркнет клетки без условия и выделит подходящие.

Известна сумма очков

Если условие задаёт сумму, остаются только пары с этой суммой. При сумме $6$ это $(1; 5)$ , $(2; 4)$ , $(3; 3)$ , $(4; 2)$ , $(5; 1)$ : $5$ исходов. Вопрос о первом броске решают только среди них. Пары $(2; 4)$ и $(4; 2)$ — разные исходы. При трёх бросках исход — упорядоченная тройка: выпишите тройки с нужной суммой по порядку (перебор наборов).

Пример

Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 3 очка.

1.Сумма 8: $(2; 6)$ , $(3; 5)$ , $(4; 4)$ , $(5; 3)$ , $(6; 2)$ — $5$ исходов.
2.Первым выпало 3 очка только в паре $(3; 5)$ .
3. $P = \frac{1}{5} = 0{,}2$ .

Ответ: $0{,}2$

Доли вместо исходов: формула

Если исходы не выписать, а даны доли или вероятности, пользуются формулой $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ . Доля группы среди всех — это вероятность случайно выбрать человека из неё (проценты в доли).

Слова «среди женщин $15\%$ пенсионерки» дают условную вероятность $P(\text{пенсионер} \mid \text{женщина}) = 0{,}15$ , а не долю среди всех. Чтобы получить $P(A \cap B)$ , её умножают на долю женщин.

Пример

В городе $40\%$ взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют $23\%$ взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна $25\%$ . Для опроса случайно выбрали мужчину. Найдите вероятность того, что он пенсионер.

1.Женщины — $1 - 0{,}4 = 0{,}6$ взрослых. Женщины-пенсионеры: $0{,}6 \cdot 0{,}25 = 0{,}15$ всех взрослых.
2.Мужчины-пенсионеры: $0{,}23 - 0{,}15 = 0{,}08$ всех взрослых.
3.Условие — выбран мужчина: $P(\text{пенсионер} \mid \text{мужчина}) = \frac{0{,}08}{0{,}4} = 0{,}2$ .

Ответ: $0{,}2$

Дерево опыта

Если опыт идёт по шагам, нарисуйте дерево. Из каждой вершины выходят ветви — исходы следующего шага, на ветви пишут её вероятность. Ветви из одной вершины в сумме дают $1$ . Вероятность на ветви второго шага — условная: её считают при условии, что первый шаг прошёл по своей ветви.

Вероятность пути равна произведению его ветвей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ . Если событию подходят несколько путей, их вероятности складывают (несовместные события). Когда второй шаг не зависит от первого, $P(B \mid A) = P(B)$ — это правило умножения для независимых событий.

Пример

Утром идёт дождь с вероятностью $0{,}3$ . В дождь автобус опаздывает с вероятностью $0{,}4$ , а без дождя — с вероятностью $0{,}1$ . Найдите вероятность того, что утром идёт дождь и автобус опаздывает.

1.Первый шаг: дождь $0{,}3$ , нет дождя $0{,}7$ .
2.Второй шаг после ветви «дождь»: опоздал $0{,}4$ , вовремя $0{,}6$ . Это условные вероятности.
3.Путь «дождь → опоздал»: $0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$ .

Ответ: $0{,}12$

Вероятность пути по дереву

Какова вероятность, что идёт дождь и автобус опоздает?

выбранный путьнажмите на конец другого пути

Дождь

0{,}3

Опоздал, если дождь

0{,}4

Опоздал, если нет дождя

0{,}1

P(H_1 \cap A) = P(H_1) \cdot P(A \mid H_1)

= 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12

Путь «дождь → опоздал»: ветвь

0{,}3

, затем ветвь

0{,}4

. Вероятность пути — их произведение:

0{,}12

На ветвях — вероятности шагов, ветви из одной вершины дают в сумме

1

. Нажмите на конец пути, чтобы выбрать путь. Ползунки меняют вероятности ветвей.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать