тема 9 из 15

Объём пирамиды

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: $V = \frac13 S h$ . Высота — это перпендикуляр из вершины к плоскости основания, а не боковое ребро. Где именно над плоскостью основания стоит вершина, для объёма не важно. Пирамида втрое меньше призмы с тем же основанием и той же высотой.

Часто в задании3Реже в задании15На карте навыков

Объём пирамиды
—В аналитике

Треть площади основания на высоту

$V = \frac13 S h$ , где $S$ — площадь основания пирамиды, $h$ — её высота.

Основание — многоугольник. Его площадь считают по формулам планиметрии (площади фигур).
Высота — перпендикуляр из вершины к плоскости основания. Его конец может лежать и вне основания.
Если вершина $K$ лежит на боковом ребре $SC$ большой пирамиды, высота из $K$ равна $\frac{CK}{CS} \cdot SO$ , где $SO$ — высота большой пирамиды (точка на ребре).
У пирамиды и призмы с общим основанием и равными высотами $V_{\text{пир}} = \frac13 V_{\text{пр}}$ .
Не забудьте множитель $\frac13$ : без него получится объём призмы.

Вершина движется, объём не меняется

Высота

h

5

Высота

SH

падает внутрь основания.

V = \frac13 S h = \frac13 \cdot 12 \cdot 5 = 20

V_{\text{призмы}} = S h = 12 \cdot 5 = 60 = 3V

Основание пирамиды — прямоугольник

ABCD

, вершина

S

лежит в плоскости верхней грани призмы. Двигайте вершину и меняйте высоту.

Ребро, перпендикулярное основанию, — высота

Если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то оно и есть высота пирамиды. Вершина тогда стоит прямо над вершиной основания.

Так бывает с пирамидой внутри прямоугольного параллелепипеда: его боковые рёбра $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ , $DD_1$ перпендикулярны основанию. Высота пирамиды с вершиной $C_1$ и основанием $ABCD$ — ребро $CC_1$ .

Пример

Основание пирамиды $SABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB = 6$ и $AD = 4$ . Ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания и равно 5. Найдите объём пирамиды.

Ребро

SA

перпендикулярно основанию, поэтому

SA

— высота.

1. $SA \perp (ABC)$ , поэтому высота пирамиды $h = SA = 5$ .
2.Площадь основания: $S = AB \cdot AD = 6 \cdot 4 = 24$ .
3. $V = \frac13 \cdot 24 \cdot 5 = 40$ .

Ответ: $40$

Треугольная пирамида: основание — любая грань

У треугольной пирамиды четыре грани, и все они треугольники. Основанием можно взять любую грань, а вершиной — противолежащую ей вершину. Берите ту грань, к которой высота уже известна.

Если три ребра $DA$ , $DB$ , $DC$ попарно перпендикулярны, возьмите основанием прямоугольный треугольник $DAB$ : $S = \frac12 DA \cdot DB$ . Ребро $DC$ перпендикулярно этой грани, это высота. Тогда $V = \frac13 \cdot \frac12 DA \cdot DB \cdot DC = \frac16 DA \cdot DB \cdot DC$ .

Пример

В треугольной пирамиде $DABC$ рёбра $DA$ , $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, $DA = 4$ , $DB = 3$ , $DC = 6$ . Найдите объём пирамиды.

Основание — прямоугольный треугольник

DAB

, высота — ребро

DC

1.Основание — грань $DAB$ . Угол $D$ в ней прямой, поэтому $S = \frac12 \cdot 4 \cdot 3 = 6$ .
2. $DC \perp DA$ и $DC \perp DB$ , поэтому $DC$ перпендикулярно грани $DAB$ : $h = DC = 6$ .
3. $V = \frac13 \cdot 6 \cdot 6 = 12$ .

Ответ: $12$

Площадь основания

Площадь основания либо дана в условии, либо её считают по формулам планиметрии. Прямоугольник: $S = ab$ . Прямоугольный треугольник: $S = \frac12 ab$ (площадь прямоугольного треугольника).

Квадрат часто задан диагональю $d$ . Квадрат — ромб с равными диагоналями, поэтому $S = \frac12 d \cdot d = \frac{d^2}{2}$ (площадь ромба).

Пример

В основании пирамиды лежит квадрат с диагональю 8. Вершина пирамиды проецируется в центр квадрата, высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

Площадь квадрата через диагональ:

S = \frac{d^2}{2}

1. $S = \frac{8^2}{2} = 32$ .
2. $V = \frac13 \cdot 32 \cdot 6 = 64$ .

Ответ: $64$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать