Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения критических точек вычислим производную заданной функции и определим значения аргумента, при которых она обращается в нуль:
$y' = (27x - 2x^{\frac{3}{2}} + 2)' = 27 - 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}.$
Приравняем полученное выражение к нулю:
$27 - 3\sqrt{x} = 0.$
Разделим обе части уравнения на 3:
$9 - \sqrt{x} = 0.$
Отсюда получаем:
$\sqrt{x} = 9,$
$x = 81.$
Проанализируем знаки производной на числовой прямой, используя метод интервалов:

Видим, что при переходе через точку $x = 81$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, данная точка является точкой максимума функции.

Ответ: 81

Источник: ФИПИ