Задание 3

Стереометрия · 112 заданий

Задание №3
№3Лёгкое
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.
Тела вращения
Задание №3
№3Среднее
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.
Многогранники
Задание №3
№3Лёгкое
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 2, AD = 10,…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 4, AD = 3,…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, A₁, B₁, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 5, AD = 1…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки D, B, B₁, C₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 6, AD = 6,…
Многогранники
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 44 √(2). Найдите п…
Тела вращения
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 77 √(2). Найдите п…
Тела вращения
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3 √(2). Найдите пл…
Тела вращения
Задание №3
№3Лёгкое
Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.
Тела вращения
Задание №3
№3Среднее
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы р…
Тела вращения

Задание №3 — Призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Рассмотрим площадь боковой поверхности меньшей призмы $ADEA_{1}D_{1}E_{1}$ . Она складывается из площадей трёх боковых граней:
$S_{ADEA_{1}D_{1}E_{1}} = S_{ADA_{1}D_{1}} + S_{DED_{1}E_{1}} + S_{AEA_{1}E_{1}} = 36$ Теперь проанализируем площадь боковой поверхности исходной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ :
$S_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}} = S_{ABA_{1}B_{1}} + S_{BCB_{1}C_{1}} + S_{ACA_{1}C_{1}}$ Заметим, что все боковые грани являются прямоугольниками с одинаковой высотой $AA_{1}$ . Площадь грани $ADA_{1}D_{1}$ равна $AD \cdot AA_{1}$ , а площадь грани $ABA_{1}B_{1}$ равна $AB \cdot AA_{1}$ .
Так как точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно (исходя из подобия треугольников в основании), то сторона $AB = 2 \cdot AD$ . Следовательно, площадь грани $ABA_{1}B_{1}$ в два раза больше площади грани $ADA_{1}D_{1}$ :
$S_{ABA_{1}B_{1}} = 2 \cdot S_{ADA_{1}D_{1}}$ .
Аналогичная зависимость справедлива и для остальных боковых граней: $S_{BCB_{1}C_{1}} = 2 \cdot S_{DED_{1}E_{1}}$ и $S_{ACA_{1}C_{1}} = 2 \cdot S_{AEA_{1}E_{1}}$ .
Таким образом, общая площадь боковой поверхности большой призмы ровно в два раза превышает площадь боковой поверхности малой призмы:
$S_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}} = 2 \cdot S_{ADEA_{1}D_{1}E_{1}} = 2 \cdot 36 = 72$ .

Ответ: 72

Источник: ФИПИ