Задание №3 — Призмы

Решение:

Рассмотрим площадь боковой поверхности меньшей призмы $ADEA_{1}D_{1}E_{1}$. Она складывается из площадей трёх боковых граней:
$$S_{ADEA_{1}D_{1}E_{1}} = S_{ADA_{1}D_{1}} + S_{DED_{1}E_{1}} + S_{AEA_{1}E_{1}} = 36$$ Теперь проанализируем площадь боковой поверхности исходной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$:
$$S_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}} = S_{ABA_{1}B_{1}} + S_{BCB_{1}C_{1}} + S_{ACA_{1}C_{1}}$$ Заметим, что все боковые грани являются прямоугольниками с одинаковой высотой $AA_{1}$. Площадь грани $ADA_{1}D_{1}$ равна $AD \cdot AA_{1}$, а площадь грани $ABA_{1}B_{1}$ равна $AB \cdot AA_{1}$.
Так как точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно (исходя из подобия треугольников в основании), то сторона $AB = 2 \cdot AD$. Следовательно, площадь грани $ABA_{1}B_{1}$ в два раза больше площади грани $ADA_{1}D_{1}$:
$S_{ABA_{1}B_{1}} = 2 \cdot S_{ADA_{1}D_{1}}$.
Аналогичная зависимость справедлива и для остальных боковых граней: $S_{BCB_{1}C_{1}} = 2 \cdot S_{DED_{1}E_{1}}$ и $S_{ACA_{1}C_{1}} = 2 \cdot S_{AEA_{1}E_{1}}$.
Таким образом, общая площадь боковой поверхности большой призмы ровно в два раза превышает площадь боковой поверхности малой призмы:
$S_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}} = 2 \cdot S_{ADEA_{1}D_{1}E_{1}} = 2 \cdot 36 = 72$.

Ответ: 72

Источник: ФИПИ