Задание №3 — Призмы

Разбор задачи:

Объем прямой призмы $ADEA_{1}D_{1}E_{1}$ вычисляется как произведение площади её основания на высоту: $V_{ADEA_{1}D_{1}E_{1}} = S_{ADE} \cdot AA_{1} = 5$.
Отсюда выразим высоту призмы через площадь треугольника $ADE$: $AA_{1} = \frac{5}{S_{ADE}}$.
Объем исходной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ также равен произведению площади основания на высоту: $V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}} = S_{ABC} \cdot AA_{1}$.
Поскольку отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, он отсекает от него треугольник $ADE$, подобный исходному с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно, $S_{ABC} = 4 \cdot S_{ADE}$.
Подставим полученные выражения в формулу объема большой призмы:
$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}} = 4 S_{ADE} \cdot \frac{5}{S_{ADE}} = 4 \cdot 5 = 20$.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ