Задание 3

Стереометрия · 112 заданий

Задание №3
№3Лёгкое
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.
Тела вращения
Задание №3
№3Среднее
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.
Многогранники
Задание №3
№3Лёгкое
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 2, AD = 10,…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 4, AD = 3,…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, A₁, B₁, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 5, AD = 1…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки D, B, B₁, C₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 6, AD = 6,…
Многогранники
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 44 √(2). Найдите п…
Тела вращения
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 77 √(2). Найдите п…
Тела вращения
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3 √(2). Найдите пл…
Тела вращения
Задание №3
№3Лёгкое
Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.
Тела вращения
Задание №3
№3Среднее
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы р…
Тела вращения

Задание №3 — Призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём треугольной призмы равен 5.

Правильный ответ

Пояснение

Разбор задачи:

Объем прямой призмы $ADEA_{1}D_{1}E_{1}$ вычисляется как произведение площади её основания на высоту: $V_{ADEA_{1}D_{1}E_{1}} = S_{ADE} \cdot AA_{1} = 5$ .
Отсюда выразим высоту призмы через площадь треугольника $ADE$ : $AA_{1} = \frac{5}{S_{ADE}}$ .
Объем исходной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ также равен произведению площади основания на высоту: $V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}} = S_{ABC} \cdot AA_{1}$ .
Поскольку отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$ , он отсекает от него треугольник $ADE$ , подобный исходному с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$ .
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно, $S_{ABC} = 4 \cdot S_{ADE}$ .
Подставим полученные выражения в формулу объема большой призмы:
$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}} = 4 S_{ADE} \cdot \frac{5}{S_{ADE}} = 4 \cdot 5 = 20$ .

Ответ: 20

Источник: ФИПИ