Решение:

Вспомним формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра: $S_{цил} = 2\pi Rh$. По условию задачи эта величина составляет $5\sqrt{2}$.
Поскольку высота цилиндра совпадает с его радиусом ($h = R$), формулу можно переписать в виде: $2\pi R^2 = 5\sqrt{2}$. Отсюда выразим значение $\pi R^2$: $$\pi R^2 = \frac{5\sqrt{2}}{2} = 2{,}5\sqrt{2}$$ Теперь рассмотрим конус. Площадь его боковой поверхности вычисляется по формуле: $S_{кон} = \pi Rl$, где $l$ — образующая.
Так как осевое сечение конуса в данной задаче связано с радиусом и высотой, образующую $l$ найдем из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $$l = \sqrt{R^2 + h^2}$$ Учитывая, что $h = R$, получаем: $$l = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$$ Подставим полученное выражение для образующей в формулу площади боковой поверхности конуса: $$S_{кон} = \pi \cdot R \cdot (R\sqrt{2}) = \pi R^2 \sqrt{2}$$ Подставляя ранее найденное значение $\pi R^2 = 2{,}5\sqrt{2}$, окончательно находим: $$S_{кон} = 2{,}5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2{,}5 \cdot 2 = 5$$

Ответ: 5

Источник: ФИПИ