Задание №3 — Тела вращения

Решение:
Для вычисления объема конуса воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$. По условию образующая $l = 2$ наклонена к плоскости основания под углом $30^{\circ}$. Так как высота является катетом, лежащим против этого угла, она равна половине гипотенузы: $h = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
Используя теорему Пифагора, определим радиус основания: $r = \sqrt{l^{2} - h^{2}} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.
Подставим полученные значения в формулу объема: $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (\sqrt{3})^{2} \cdot 1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 1 = \pi.$$ В ответе необходимо указать величину $\frac{V}{\pi}$, следовательно, $\frac{\pi}{\pi} = 1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ