Решение:
Вспомним формулу для вычисления объёма конуса: $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$. Жидкость в сосуде принимает форму меньшего конуса, который подобен основному. Согласно условию, уровень воды достигает $\frac{2}{3}$ высоты сосуда. Из подобия фигур следует, что радиус основания этого «водяного» конуса также составляет $\frac{2}{3}$ от радиуса $r$ большого конуса.
Запишем объём налитой жидкости:
$$V_{жидк} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{3} r\right)^{2} \cdot \left(\frac{2}{3} h\right) = 144$$
Раскроем скобки и преобразуем выражение:
$$\frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4}{9} r^{2} \cdot \frac{2}{3} h = 144$$
$$\frac{8}{27} \cdot \left(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\right) = 144$$
Отсюда выразим полный объём сосуда $V_{сосуда} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$:
$$V_{сосуда} = \frac{144 \cdot 27}{8} = 18 \cdot 27 = 486 \text{ мл.}$$
Чтобы узнать, сколько миллилитров воды необходимо добавить, найдём разность между общим объёмом и уже имеющимся количеством жидкости:
$$486 - 144 = 342 \text{ мл.}$$

Ответ: 342

Источник: ФИПИ