Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $2 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3} \cos \left(2 x\right) = \sin \left(x\right) + \sqrt{3} .$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

а) Преобразуем исходное уравнение, используя метод разложения на множители. Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:

$2\sin^2 x \cos x - \sqrt{3}\sin 2x + \sqrt{3}\sin x - 3\cos x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ :

$2\sin^2 x \cos x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \sqrt{3}\sin x - 3\cos x = 0$

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$\sin x (2\sin x \cos x + \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2\sin x \cos x + \sqrt{3}) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$(2\sin x \cos x + \sqrt{3})(\sin x - \sqrt{3}) = 0$

Заметим, что $2\sin x \cos x = \sin 2x$ , тогда уравнение распадается на два случая:

1) $\sin 2x = -\sqrt{3}$ . Данное уравнение не имеет решений, так как $|-\sqrt{3}| > 1$ .

2) $\sin x = \sqrt{3}$ . Здесь также нет корней, поскольку $\sqrt{3} > 1$ .

Замечание: Вероятно, в условии допущена опечатка в знаках или коэффициентах. Рассмотрим стандартный алгоритм отбора корней для подобных задач.

б) Для выполнения отбора корней на заданном отрезке воспользуемся тригонометрической окружностью или решением неравенств относительно целого параметра $k$ .

Ответ: а) $\varnothing$ ; б) $\varnothing$ .

Источник: ФИПИ