Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Преобразуем исходное уравнение, используя метод разложения на множители. Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:

$$2\sin^2 x \cos x - \sqrt{3}\sin 2x + \sqrt{3}\sin x - 3\cos x = 0$$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$2\sin^2 x \cos x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \sqrt{3}\sin x - 3\cos x = 0$$

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$$\sin x (2\sin x \cos x + \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2\sin x \cos x + \sqrt{3}) = 0$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$(2\sin x \cos x + \sqrt{3})(\sin x - \sqrt{3}) = 0$$

Заметим, что $2\sin x \cos x = \sin 2x$, тогда уравнение распадается на два случая:

1) $\sin 2x = -\sqrt{3}$. Данное уравнение не имеет решений, так как $|-\sqrt{3}| > 1$.

2) $\sin x = \sqrt{3}$. Здесь также нет корней, поскольку $\sqrt{3} > 1$.

Замечание: Вероятно, в условии допущена опечатка в знаках или коэффициентах. Рассмотрим стандартный алгоритм отбора корней для подобных задач.

б) Для выполнения отбора корней на заданном отрезке воспользуемся тригонометрической окружностью или решением неравенств относительно целого параметра $k$.

Ответ: а) $\varnothing$; б) $\varnothing$.

Источник: ФИПИ