Задание №1 — Прямоугольные треугольники

Решение:

1) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$, чтобы найти синус угла $A$. Подставим известное значение косинуса:
$$\sin^{2} A + \left(\frac{7}{25}\right)^{2} = 1 \Rightarrow \sin^{2} A + \frac{49}{625} = 1$$ Отсюда получаем, что $\sin A = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$ (так как угол $A$ — острый угол прямоугольного треугольника, его синус положителен).

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. По определению синуса острого угла:
$$\sin A = \frac{CH}{AC}$$ Подставим в это соотношение найденное значение синуса и длину высоты $CH = 19{,}2$:
$$\frac{24}{25} = \frac{19{,}2}{AC}$$ Выразим искомую гипотенузу $AC$:
$$AC = \frac{19{,}2 \cdot 25}{24} = 0{,}8 \cdot 25 = 20$$

Ответ: 20

Источник: ФИПИ