Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Ход решения:
Для нахождения критических точек вычислим производную заданной функции, используя правило дифференцирования произведения: $$y' = (x + 5)' \cdot e^{x - 5} + (x + 5) \cdot (e^{x - 5})' = 1 \cdot e^{x - 5} + (x + 5) \cdot e^{x - 5}.$$ Вынесем общий множитель $e^{x - 5}$ за скобки и приравняем полученное выражение к нулю: $$e^{x - 5} (1 + x + 5) = 0 \implies e^{x - 5} (x + 6) = 0.$$ Так как показательная функция $e^{x - 5}$ всегда принимает положительные значения, единственным корнем уравнения является $x = -6$.

Анализируя знаки производной на числовой прямой (справа от $-6$ производная положительна, слева — отрицательна), делаем вывод, что $x = -6$ является точкой минимума.

Ответ: -6

Источник: ФИПИ