Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн рублей.

Ответ дайте в миллионах рублей.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:
Согласно условию, срок кредитования составляет $n = 4$ года, а процентная ставка $r = 20 \%$ . Введем коэффициент увеличения долга $k = 1 + \frac{r}{100} = 1{,}2$ .
Обозначим через $S$ исходную сумму кредита в миллионах рублей.

Год	Сумма долга	Долг с процентами	Платеж	Остаток долга
1	$S$	$kS$	$S(k - 1)$	$S$
2	$S$	$kS$	$S(k - 1)$	$S$
3	$S$	$kS$	$x$	$kS - x$
4	$kS - x$	$k^{2}S - kx$	$x$	$k^{2}S - kx - x$

По условию задачи, к концу четвертого года задолженность должна быть полностью погашена:
$k^{2} S - kx - x = 0$
Следовательно, ежегодный платеж $x$ в последние два года выражается через $S$ следующим образом:
$x(k + 1) = k^{2}S \Rightarrow x = \frac{k^{2} S}{k + 1}$
Суммарные выплаты за весь период составляют $2 S (k - 1) + 2x$ . По условию эта величина больше 8 млн рублей:
$2 S (k - 1) + \frac{2 k^{2} S}{k + 1} > 8$
Подставим значение $k = 1{,}2$ :
$2 S (1{,}2 - 1) + \frac{2 \cdot 1{,}44 \cdot S}{1{,}2 + 1} > 8 \\ 0{,}4 S + \frac{2{,}88 S}{2{,}2} > 8 \\ \frac{0{,}88 S + 2{,}88 S}{2{,}2} > 8 \\ \frac{3{,}76 S}{2{,}2} > 8 \\ S > \frac{17{,}6}{3{,}76} \\ S > \frac{220}{47} \approx 4{,}68...$
Таким образом, минимальное целое значение $S$ , удовлетворяющее условию, равно 5 млн рублей.

Критерии оценивания:
2 балла — представлено полное обоснованное решение и получен правильный ответ.
1 балл — верно составлена математическая модель, но допущена ошибка в вычислениях или решение не доведено до конца.
0 баллов — решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: 5 млн руб.

Источник: ФИПИ