тема 4 из 8

Билеты на экзамене

Билет на экзамене достаётся наугад, поэтому все билеты сборника равновозможны. Вероятность вопроса по теме равна доле билетов с этой темой: $\frac{m}{n}$ . Вероятность того, что темы не будет, — доля остальных билетов: $\frac{n - m}{n}$ .

Реже в задании4На карте навыков

Вероятность в задачах о билетах на экзамене
—В аналитике

Доля нужных билетов

В сборнике $n$ билетов, тема есть в $m$ из них. Школьник тянет один билет наугад, все билеты равновозможны (классическое определение).

Достанется вопрос по теме: $P = \frac{m}{n}$ .
Не достанется: подходят остальные билеты, $P = \frac{n - m}{n} = 1 - \frac{m}{n}$ .
Числа бывают записаны словами: «в семи из них» — это $m = 7$ .
Даны вероятности двух тем без общих вопросов — сложите их.

Достанется вопрос по теме

Исход — билет целиком, сколько в нём вопросов, не важно. Благоприятны билеты, где тема есть. Их $m$ из $n$ , поэтому $P = \frac{m}{n}$ .

Пример

В сборнике билетов по химии всего 40 билетов, в шести из них встречается вопрос по теме «Кислоты». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Кислоты».

1.Исходы — 40 билетов, все равновозможны: $n = 40$ .
2.Подходят билеты с темой: «в шести» — это $m = 6$ .
3. $P = \frac{6}{40} = 0{,}15$ .

Ответ: $0{,}15$

Не достанется вопрос по теме

«Не достанется» — противоположное событие. Подходят билеты без темы, их $n - m$ , поэтому $P = \frac{n - m}{n} = 1 - \frac{m}{n}$ .

Перечитайте вопрос перед ответом: частицу «не» легко пропустить и записать $\frac{m}{n}$ .

Пример

В сборнике билетов по истории всего 60 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме «Реформы Петра I». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по этой теме.

1.Всего билетов $n = 60$ , с темой $m = 12$ .
2.Без темы $60 - 12 = 48$ билетов.
3. $P = \frac{48}{60} = 0{,}8$ . Проверка: $1 - \frac{12}{60} = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ .

Ответ: $0{,}8$

Вопрос по одной из двух тем

Иногда даны не числа билетов, а вероятности тем. Пусть $A$ — вопрос по первой теме, $B$ — по второй. Если вопросов, которые относятся к обеим темам сразу, нет, события несовместны. Тогда вероятность вопроса по одной из двух тем равна сумме: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ (сложение вероятностей).

Пример

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один случайный вопрос из списка. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос по теме «Площадь треугольника», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

1.Общих вопросов нет, поэтому события несовместны.
2. $P = 0{,}25 + 0{,}15 = 0{,}4$ .

Ответ: $0{,}4$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать