тема 5 из 8

Брак и частота события

«В среднем из 1000 насосов 5 неисправны» — это частота брака, и её берут за вероятность: $\frac{5}{1000}$ . Главное в таких задачах — понять, на что делить. Если сказано «на 1000 исправных приходится 5 неисправных», всего изделий $1000 + 5 = 1005$ .

Реже в задании4На карте навыков

Вероятность брака и частота события
—В аналитике

Брак — доля всех изделий

Вероятность того, что случайное изделие бракованное, равна доле бракованных среди всех изделий: $P = \frac{\text{бракованные}}{\text{все изделия}}$ .

«В среднем $k$ из $N$ » — всех изделий $N$ , брак уже внутри них: $P = \frac{k}{N}$ .
«На $N$ исправных приходится $k$ бракованных» — всех изделий $N + k$ : $P = \frac{k}{N + k}$ .
Спрашивают про исправное изделие — делите число исправных на число всех или вычтите вероятность брака из единицы (противоположное событие).
Если дробь не даёт конечной десятичной, округлите, как просит задача.

На что делить число бракованных

В среднем из

50

изделий

3

с браком. Какова вероятность купить изделие с браком?

Условие:

исправные:

47

с браком:

3

всего изделий:

50

Всего изделий

N

50

С браком

k

3

P = \frac{k}{N} = \frac{3}{50} = 0{,}06

Брак уже входит в

N = 50

изделий, поэтому делим на

N = 50

вероятность 0,06частота после проверки

Нажмите «Проверить 100 изделий»: точки покажут долю брака среди проверенных.

Квадратики — изделия, красные — с браком. Переключите условие и двигайте ползунки: от условия зависит, на что делить. Кнопка «Проверить» берёт изделия наугад, график показывает частоту брака.

В среднем из всех изделий

Частота события — доля опытов, в которых оно произошло. При большом числе опытов частота почти не меняется и близка к вероятности. Поэтому «в среднем из 2000 насосов 12 подтекают» значит: вероятность, что случайный насос подтекает, равна $\frac{12}{2000}$ .

В записи « $k$ из $N$ » число $N$ — все изделия, бракованные среди них уже посчитаны. Делите на $N$ и ничего не прибавляйте.

Пример

В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1.Всего насосов $N = 1500$ , подтекают 9 из них.
2.Не подтекают $1500 - 9 = 1491$ насос.
3. $P = \frac{1491}{1500} = 0{,}994$ . Проверка: $1 - \frac{9}{1500} = 1 - 0{,}006 = 0{,}994$ .

Ответ: $0{,}994$

На столько-то исправных

«На 170 качественных сумок приходится 15 с дефектами» — это не «15 из 170». Здесь 170 — только качественные сумки, а всех сумок в такой группе $170 + 15 = 185$ . Делите на сумму: $P = \frac{k}{N + k}$ .

Часто сумма получается круглой: на 2982 исправных насоса 18 неисправных — всего $3000$ . Если круглой суммы нет, задача просит округлить ответ, обычно до сотых.

Пример

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 120 качественных сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

1.Всего сумок в группе: $120 + 8 = 128$ .
2.Качественных 120: $P = \frac{120}{128} = 0{,}9375$ .
3.До сотых: третья цифра после запятой — 7, поэтому $0{,}9375 \approx 0{,}94$ .

Ответ: $0{,}94$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать