тема 1 из 8

Жеребьёвка и порядок выступлений

При жеребьёвке все порядки участников равновозможны. Поэтому любое место — первое, последнее или тринадцатое — достаётся каждому из $n$ участников с одной и той же вероятностью. Вероятность того, что на этом месте окажется участник из нужной группы, равна доле группы: $\frac{m}{n}$ . Номер места в ответ не входит.

Главная тема в задании4На карте навыков

Вероятность при жеребьёвке и порядке выступлений
—В аналитике

Жребий уравнивает места

Жеребьёвка делает все порядки участников равновозможными. Любое место с равными шансами достаётся каждому из $n$ участников, поэтому $P = \frac{m}{n}$ (классическое определение).

Найдите $n$ — сколько всего участников. Если сказано «остальные», вычтите известные группы из общего числа.
Найдите $m$ — сколько участников подходят под условие: нужная страна, нужная команда.
Номер места не важен: для первого, последнего и $k$ -го места ответ один и тот же.
Жребием выбирают $k$ человек из $n$ — каждый попадёт в их число с вероятностью $\frac{k}{n}$ .
Жребий перед каждой игрой — это бросок монеты: исходы считают по дереву бросков.
Ответ запишите десятичной дробью.

Одинаков ли шанс на каждом месте?

Какова вероятность, что 1-м выступит спортсмен из Китая?

Очередь до жеребьёвки: участники стоят по странам

теория: 0,25

Здесь появятся столбики частот

Столбик — как часто на этом месте выступал спортсмен из Китая

Нажмите «Ещё 100»: столбики покажут, как часто спортсмен из Китая выступает на каждом месте.

Кружки — 20 спортсменов в порядке выступления, цвет — страна. Проведите много жеребьёвок и сравните столбики разных мест. Нажмите на место или страну, чтобы изменить вопрос.

Любое место: доля нужной группы

На место с номером $k$ с равными шансами попадает любой из $n$ участников. Благоприятны $m$ участников нужной страны, поэтому $P = \frac{m}{n}$ и для первого, и для последнего, и для тринадцатого места.

Не вычитайте тех, кто «уже выступил»: жребий тянут до начала, и о других местах ничего не известно. Числа участников других стран нужны только для $n$ .

Пример

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Голландии и 9 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что тринадцатым будет выступать прыгун из Аргентины.

1.Всего спортсменов $n = 50$ , все порядки выступлений равновозможны.
2.На тринадцатое место с равными шансами попадает любой из 50. Подходят прыгуны из Аргентины: $m = 9$ . Голландцы для ответа не нужны.
3. $P = \frac{9}{50} = 0{,}18$ .

Ответ: $0{,}18$

Остальные участники

Если число нужных участников не дано, а сказано «остальные», вычтите из общего числа все названные группы: $m = n - m_1 - m_2$ . Только потом делите на $n$ .

Вопрос «игру начнёт не Ксюша» — противоположное событие: подходят все участники, кроме одного.

Пример

В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 14 из России, 12 из США, остальные — из Китая. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

1.Из Китая $m = 40 - 14 - 12 = 14$ спортсменок.
2.Всего $n = 40$ , первой с равными шансами выступает любая.
3. $P = \frac{14}{40} = 0{,}35$ .

Ответ: $0{,}35$

Выбирают несколько человек

Жребием выбирают $k$ человек из $n$ . Представьте, что жребий выстроил всех в очередь, а выбраны первые $k$ . Нужный человек с равными шансами стоит на любом из $n$ мест, и $k$ мест из них подходят: $P = \frac{k}{n}$ .

Перевозка рейсами устроена так же. Первым рейсом летят первые $k$ человек очереди, где $k$ — число мест в вертолёте.

Пример

В группе туристов 24 человека. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.

1.Всего мест в очереди $n = 24$ , турист В. с равными шансами занимает любое.
2.Первым рейсом летят места с 1-го по 6-е: $m = 6$ .
3. $P = \frac{6}{24} = 0{,}25$ . Проверка: рейсов $24 : 6 = 4$ , турист с равными шансами летит любым, $\frac{1}{4} = 0{,}25$ .

Ответ: $0{,}25$

С кем сыграет участник

Участников разбивают на пары жребием. Соперник нашего спортсмена — один из остальных $n - 1$ участников, и все они равновозможны. Сам спортсмен себе в пару не попадает, поэтому из его страны подходят $m - 1$ человек: $P = \frac{m - 1}{n - 1}$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Георгий Бочкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Георгий Бочкин будет играть с каким-либо спортсменом из России.

Правильный ответ

0,24

Пояснение

Георгий Бочкин уже участвует. Его соперник — любой из остальных $26 - 1 = 25$ спортсменов, все варианты равновозможны.
Из России, кроме самого Бочкина, $7 - 1 = 6$ спортсменов.
$P = \frac{6}{25} = 0{,}24$ . Ответ: 0,24.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать