Метод интервалов

Множитель $x - a$ положителен при $x > a$ и отрицателен при $x < a$. Между соседними нулями ни один множитель не меняет знак, поэтому произведение сохраняет знак на всём интервале. У дроби $\frac{f}{g}$ тот же знак, что у произведения $f \cdot g$.

На крайнем правом интервале каждый множитель $x - a$ положителен, а множитель $a - x$ отрицателен. Каждый множитель вида $a - x$ меняет знак правого интервала на противоположный. Можно и вынести минус: $5x - x^2 - 4 = -(x - 1)(x - 4)$. Тогда умножьте неравенство на $-1$ и смените знак неравенства.

Множитель $(x - a)^2$ не бывает отрицательным: при $x \ne a$ он положителен, при $x = a$ равен нулю. Поэтому в точке $a$ знак выражения не меняется. Так же ведут себя любая чётная степень $(x - a)^{2k}$ и модуль $|x - a|$. Если точка — нуль нескольких множителей, сложите их степени: у $(x - 3)^2(x - 3)$ степень 3, и знак в точке 3 меняется.

Точка $a$ — нуль числителя. В неравенстве со знаком $\ge$ или $\le$ она входит в ответ, даже если соседние интервалы не подошли: так появляется отдельная точка. В строгом неравенстве её выкалывают, даже если оба соседних интервала подошли. Потерянная точка стоит балла: ответ без неё получает не больше 1 балла из 2.

В нестрогом неравенстве нули числителя входят в ответ: в них выражение равно нулю. В строгом неравенстве их выкалывают. Нули знаменателя не входят в ответ никогда: в них дробь не существует.

Если число — нуль и числителя, и знаменателя, его выкалывают. Общий множитель можно сократить, но точку надо исключить: $\frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3$ только при $x \ne 2$.

Метод интервалов работает для любых множителей, которые меняют знак только в своих нулях. Множитель $2^x - 4$ равен нулю при $x = 2$. Функция $2^x$ возрастает, поэтому $2^x - 4 > 0$ при $x > 2$ и $2^x - 4 < 0$ при $x < 2$. Так же $\log_2 x - 1$ меняет знак только при $x = 2$. Знак таких множителей быстро даёт замена множителей, для логарифма — его знак.

Если знак неясен, подставьте удобное число из интервала. Множитель, который положителен при любом $x$, на знак не влияет: $2^x$, $3^x + 4$, $x^2 + 1$. Его можно отбросить.

Ответ записывают как объединение промежутков знаком $\cup$. Квадратная скобка стоит у конца, который входит в ответ, круглая — у выколотого конца. У бесконечности скобка всегда круглая. Отдельную точку пишут в фигурных скобках: $\{3\}$.

В демоверсии ФИПИ промежутки и точки перечисляют через точку с запятой: $(-\infty; 0);\ \frac{1}{3};\ \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$. Обе записи верны. Перед записью сверьте каждый конец с прямой: закрашенная точка — квадратная скобка, выколотая — круглая.