Показательные неравенства

При $a > 1$ функция $y = a^x$ возрастает: большей степени соответствует больший показатель. Поэтому $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно $f(x) > g(x)$, знак тот же. Число справа запишите как степень основания по таблице степеней. Если показатель — квадратный трёхчлен или дробь, дальше решают квадратное или дробное неравенство.

При $0 < a < 1$ функция $y = a^x$ убывает: большей степени соответствует меньший показатель. Поэтому $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно $f(x) < g(x)$. Десятичное основание запишите обыкновенной дробью: $0{,}25 = \frac{1}{4}$, $0{,}2 = \frac{1}{5}$, $0{,}125 = \frac{1}{8}$.

Знак можно не менять, если перейти к основанию больше 1: $\left(\frac{1}{a}\right)^{f} = a^{-f}$ по свойству отрицательного показателя. Тогда минус переходит в показатель, а знак остаётся.

Если число $c > 0$ — не степень основания, запишите его по определению логарифма: $c = a^{\log_a c}$. При $a > 1$ неравенство $a^{x} > c$ равносильно $x > \log_a c$, а $a^{x} < c$ равносильно $x < \log_a c$. При $0 < a < 1$ знаки меняются. Логарифм оставляют в ответе как есть.

Чтобы сравнить логарифм с целым числом, запишите число как логарифм с тем же основанием: $2 = \log_3 9$, поэтому $\log_3 5 < 2$.

Если в неравенстве есть $a^{2f(x)}$ и $a^{f(x)}$, обозначьте $t = a^{f(x)}$. Числа из показателя выносят по свойствам степени: $9^x = t^2$ и $3^{x + 1} = 3t$ при $t = 3^x$. Новая переменная положительна, поэтому промежуток $t \le 0$ не даёт ни одного $x$. Как решить неравенство для $t$ и учесть условие $t > 0$, разобрано в теме Замена в неравенстве.

Обратная замена даёт простейшее неравенство $a^{f(x)} > c$. Запишите $c$ степенью основания и сравните показатели по правилу основания. Если в показателе дробь, получится дробное неравенство.

$a^x > 0$ при любом $x$. Поэтому при $c \le 0$ неравенство $a^x > c$ верно для всех $x$, а $a^x < c$ решений не имеет. Сумма $a^x + c$ при $c \ge 0$ тоже положительна. Положительный множитель не меняет знак произведения или дроби: его отбрасывают, а знак неравенства оставляют.

Перенесите всё в одну часть, приведите к одной дроби и разложите числитель и знаменатель на множители. Каждый множитель либо положителен при всех $x$, либо меняет знак в одной точке: $a^{f(x)} - c$ меняет знак там, где $a^{f(x)} = c$. Если таких множителей несколько, замените каждый более простым множителем с тем же знаком.

Трёхчлен $t^2 - 2kt + k^2$ — полный квадрат $(t - k)^2$. Такой знаменатель положителен везде, кроме одной точки: её выкалывают, а знак дроби задаёт числитель.