Свойства логарифмов

Сумма логарифмов с одним основанием — логарифм произведения аргументов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$. Один аргумент часто — десятичная дробь, а произведение получается целым. Затем найдите показатель степени по определению логарифма. В уравнении и неравенстве с переменной логарифмы объединяют только на ОДЗ.

Разность логарифмов с одним основанием — логарифм частного: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$. Первый аргумент делят на второй. Порядок важен: $\log_a \frac{y}{x}$ даёт число с другим знаком.

Если основание — десятичная дробь, запишите его обыкновенной дробью: $0{,}4 = \frac{2}{5}$. Объедините логарифмы и запишите аргумент степенью этой дроби: показатель и есть значение логарифма. Перевёрнутая дробь даёт отрицательный показатель: $\frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$. Так же вычисляют один логарифм в теме Основание — десятичная дробь.

Показатель степени аргумента выходит множителем: $\log_a x^k = k\log_a x$. Корень сначала запишите степенью с дробным показателем: $\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}$. Число перед логарифмом умножает его значение.

Показатель $k$ степени основания выходит множителем $\frac{1}{k}$, а не $k$: $\log_{a^k} x = \frac{1}{k}\log_a x$. Это свойство помогает и в дроби, где основания — степени одного числа: $\frac{\log_9 8}{\log_{81} 8}$. Такие дроби разобраны в теме Переход к новому основанию.

Пусть $\log_a x = m$ и $\log_a y = n$. По определению логарифма $x = a^m$ и $y = a^n$. По свойствам степени $xy = a^{m + n}$, $\frac{x}{y} = a^{m - n}$ и $x^k = a^{km}$. Поэтому $\log_a (xy) = m + n$, $\log_a \frac{x}{y} = m - n$ и $\log_a x^k = km$.