Логарифмические неравенства

Каждый аргумент логарифма больше нуля. Логарифм в знаменателе не равен нулю, то есть его аргумент не равен 1. В неравенстве ОДЗ записывают в начале решения. В конце решение пересекают с ОДЗ на числовой прямой.

Выписывайте каждое условие исходного неравенства. Условие, пропущенное в ОДЗ, оставляет в ответе лишние точки.

При $a > 1$ функция $y = \log_a x$ возрастает: большему аргументу соответствует больший логарифм. Поэтому $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно системе $f(x) > g(x)$, $g(x) > 0$. Знак неравенства сохраняется.

Положительным должен быть меньший аргумент, здесь $g(x)$. Тогда $f(x) > g(x) > 0$, и условие $f(x) > 0$ отдельно писать не нужно.

При $0 < a < 1$ функция $y = \log_a x$ убывает: большему аргументу соответствует меньший логарифм. Поэтому $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно системе $f(x) < g(x)$, $f(x) > 0$. Знак неравенства меняется на противоположный.

Положительным снова должен быть меньший аргумент, теперь это $f(x)$. Десятичные основания $0{,}5$, $0{,}2$, $0{,}25$ тоже меньше 1.

Если справа число, запишите его логарифмом с тем же основанием: $c = \log_a a^c$. Например, $2 = \log_3 9$, $-1 = \log_{0{,}5} 2$, $0 = \log_a 1$. Затем сравните аргументы по правилу основания.

Если аргумент — квадратный трёхчлен, получится двойное неравенство: ОДЗ и сравнение с числом. Решите каждую часть по параболе и пересеките решения.

Аргументы сравнивают только при одном основании. Если основания — степени одного числа, вынесите показатель основания: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Так $\log_8 b = \frac{1}{3}\log_2 b$, $\log_{0{,}25} b = \frac{1}{2}\log_{0{,}5} b$, $\log_{\sqrt{3}} b = 2\log_3 b$. Основание $\frac{1}{a}$ меняет знак: $\log_{0{,}2} b = -\log_5 b$. Другие основания приводят к одному по формуле перехода.

Если аргументы одинаковые, а основания разные, вынесите общий логарифм: $\log_2 u - \log_3 u = \log_2 u \cdot (1 - \log_3 2)$. Число $1 - \log_3 2$ положительно, поэтому знак разности — знак $\log_2 u$.

Если логарифм стоит в квадрате, в знаменателе или в нескольких местах, обозначьте $t = \log_a x$. Сначала выразите все логарифмы через $\log_a x$: $\log_3 \frac{9}{x} = 2 - \log_3 x$ (число в аргументе), $\log_3 x^2 = 2\log_3 x$ при $x > 0$.

Решите рациональное неравенство для $t$ методом интервалов. На знаменатель с $t$ не умножайте: его знак неизвестен (почему нельзя). Затем вернитесь к $x$: каждое неравенство для $t$ — простейшее логарифмическое неравенство. Так же решают с заменой $t = \log_a f(x)$, только в обратной замене нужна и граница ОДЗ: при $a > 1$ из $t \le t_1$ следует $0 < f(x) \le a^{t_1}$.

Если логарифмы стоят множителями в произведении или в дроби, аргументы сравнить нельзя. Тогда решают методом интервалов по знакам множителей. При $a > 1$ логарифм $\log_a f$ положителен, когда $f > 1$; при $0 < a < 1$ — когда $0 < f < 1$. Поэтому на ОДЗ знак $\log_a f$ совпадает со знаком $(a - 1)(f - 1)$, а знак $\log_a f - \log_a g$ — со знаком $(a - 1)(f - g)$. Замените каждый логарифм таким множителем и решите рациональное неравенство на ОДЗ. Этот приём называют методом рационализации.

Так в $\left(\frac{x^2}{9} - 2\right)\log_2(x + 7) \le 0$ множитель $\log_2(x + 7)$ заменяют на $x + 6$. Положительный при всех $x$ множитель вроде $\log_6^2 u + 1$ отбрасывают. Квадрат вроде $(\log_2 x^2 + 1)^2$ знак не меняет и только выкалывает или добавляет точку, где он равен нулю.