тема 13 из 14

Описанный четырёхугольник

Окружность вписана в четырёхугольник, если она касается всех его сторон. Такой четырёхугольник называют описанным. У него суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$ . Поэтому периметр равен удвоенной сумме двух противоположных сторон, а у описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Реже в заданиях1 18На карте навыков

Описанный четырёхугольник
—В аналитике

Суммы противоположных сторон равны

Если в четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, то $AB + CD = BC + AD$ . Верно и обратное: если у выпуклого четырёхугольника суммы противоположных сторон равны, в него можно вписать окружность.

Противоположные стороны не имеют общей вершины: $AB$ и $CD$ , $BC$ и $AD$ .
Причина: отрезки касательных из одной вершины равны. Пусть они равны $a$ , $b$ , $c$ , $d$ у вершин $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Тогда $AB + CD = (a + b) + (c + d)$ и $BC + AD = (b + c) + (d + a)$ .
Периметр: $P = 2(AB + CD)$ .

Стороны складываются из отрезков касательных

AB + CD = 5{,}7 + 6{,}8 = 12{,}5

BC + AD = 7{,}9 + 4{,}6 = 12{,}5

Отрезки касательных:

a = 2{,}1

b = 3{,}6

c = 4{,}3

d = 2{,}5

. Поэтому

AB + CD = BC + AD = 12{,}5

Отрезки касательных из одной вершины равны и окрашены одним цветом. Каждая сумма противоположных сторон содержит все четыре отрезка. Двигайте точки касания.

Периметр по двум сторонам

Периметр — это сумма двух пар противоположных сторон. Суммы пар равны, поэтому $P = 2(AB + CD)$ . Для ответа достаточно двух противоположных сторон.

Пример

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 11$ , $CD = 15$ . Найдите периметр четырёхугольника $ABCD$ .

Стороны

AB

CD

противоположные: их сумма равна сумме двух других сторон.

1. $BC + AD = AB + CD = 11 + 15 = 26$ .
2. $P = 26 + 26 = 52$ .

Ответ: $52$

Неизвестная сторона

Если известны три стороны, запишите равенство $AB + CD = BC + AD$ и подставьте их. Сначала найдите сторону, противоположную неизвестной. Неизвестная сторона равна сумме двух других противоположных сторон минус эта сторона.

Пример

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 12$ , $BC = 8$ , $AD = 10$ . Найдите сторону $CD$ .

Сторона

CD

противоположна стороне

AB

1. $CD$ противоположна $AB$ : $AB + CD = BC + AD$ .
2. $12 + CD = 8 + 10$ , $CD = 18 - 12 = 6$ .

Ответ: $6$

Трапеция, описанная около окружности

У описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон. Средняя линия равна полусумме оснований, значит, и полусумме боковых сторон. Периметр равен удвоенной сумме боковых сторон.

Пример

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 18. Найдите среднюю линию трапеции.

Пунктир — средняя линия трапеции

ABCD

1.Сумма оснований равна сумме боковых сторон: $13 + 18 = 31$ .
2.Средняя линия — полусумма оснований: $\frac{31}{2} = 15{,}5$ .

Ответ: $15{,}5$

Радиус и высота трапеции

Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Радиусы в точки касания перпендикулярны основаниям и лежат на одной прямой. Поэтому высота трапеции равна диаметру: $h = 2r$ .

У прямоугольной трапеции высота — меньшая боковая сторона, она перпендикулярна основаниям.

Пример

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 36, её большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус окружности.

Меньшая боковая сторона

AD

равна диаметру окружности.

1.Сумма боковых сторон равна сумме оснований, то есть половине периметра: $36 : 2 = 18$ .
2.Меньшая боковая сторона: $18 - 10 = 8$ . Она перпендикулярна основаниям и равна высоте.
3. $r = \frac{8}{2} = 4$ .

Ответ: $4$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать