Площади треугольника и четырёхугольников

$S = \frac12 a h_a$: сторона $a$ и высота $h_a$, проведённая к этой стороне. У треугольника три стороны и три высоты, а площадь одна: $a h_a = b h_b = c h_c$. К большей стороне проведена меньшая высота.

Если даны две стороны и угол между ними, $S = \frac12 ab \sin C$ (синус угла).

Катет — это высота, проведённая к другому катету. Поэтому $S = \frac12 ab$, где $a$ и $b$ — катеты.

Высоту к гипотенузе $c$ находят из той же площади: $\frac12 ab = \frac12 c h$, откуда $h = \frac{ab}{c}$.

$S = a h_a$, где $h_a$ — высота, проведённая к стороне $a$. У параллелограмма две пары равных сторон и две высоты. Площадь одна, поэтому $a h_a = b h_b$: к большей стороне проведена меньшая высота.

Высота может упасть на продолжение стороны. Площадь от этого не меняется: сторона та же, расстояние до противоположной стороны то же. Если даны две стороны и угол между ними, $S = ab \sin\alpha$.

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — расстояние между ними. Полусумма оснований — это средняя линия $m$, поэтому $S = m h$.

Боковая сторона в формулу не входит. Если высоту не дали, её находят из прямоугольного треугольника у боковой стороны.

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Отсюда $S = \frac12 d_1 d_2$.

Квадрат — тоже ромб, его диагонали равны: $S = \frac12 d^2$. Ромб — параллелограмм, поэтому верна и формула $S = a h$.

Точка $E$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$ с площадью $S = AD \cdot h$. У треугольника $ABE$ основание $AE = \frac12 AD$ и та же высота $h$. Поэтому $S_{ABE} = \frac12 \cdot \frac{AD}{2} \cdot h = \frac14 S$, а трапеция $BCDE$ — остаток: $S_{BCDE} = S - \frac14 S = \frac34 S$.

Так же для любой стороны: отрезок из вершины в середину стороны, которая не проходит через эту вершину, отсекает треугольник с площадью $\frac14 S$. Если $E$ — середина $CD$, то у треугольника $ADE$ основание $DE = \frac12 CD$, а высота к $CD$ — высота параллелограмма. Остаток — трапеция с площадью $\frac34 S$. Общий приём для частей фигуры — в теме отношение площадей.