Репет
Задание 1
тема 9 из 14

Синус, косинус и тангенс острого угла

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен противолежащему катету, делённому на гипотенузу, а косинус — прилежащему катету, делённому на гипотенузу. Тангенс равен противолежащему катету, делённому на прилежащий. Отношения зависят только от угла: по углу и стороне находят другую сторону, по двум сторонам — синус и косинус. В непрямоугольном треугольнике прямой угол даёт высота.

Реже в заданиях118На карте навыков

Отношения сторон прямоугольного треугольника

В треугольнике ABCABC угол CC прямой, ABAB — гипотенуза. Для угла AA катет BCBC противолежащий, катет ACAC прилежащий.

  • sin⁡A=BCAB\sin A = \frac{BC}{AB}: противолежащий катет к гипотенузе.
  • cos⁡A=ACAB\cos A = \frac{AC}{AB}: прилежащий катет к гипотенузе.
  • tg⁡A=BCAC\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}: противолежащий катет к прилежащему.
  • Синус и косинус острого угла меньше 1: катет короче гипотенузы.
  • Для угла BB катеты меняются ролями: sin⁡B=cos⁡A\sin B = \cos A, cos⁡B=sin⁡A\cos B = \sin A.

Отношения сторон зависят только от угла

35°3,444,916ABC
sin⁡A=BCAB≈3,446≈0,57\sin A = \frac{BC}{AB} \approx \frac{3{,}44}{6} \approx 0{,}57
cos⁡A=ACAB≈4,916≈0,82\cos A = \frac{AC}{AB} \approx \frac{4{,}91}{6} \approx 0{,}82
tg⁡A=BCAC≈3,444,91≈0,7\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} \approx \frac{3{,}44}{4{,}91} \approx 0{,}7
Катет BCBC лежит против угла AA, катет ACAC прилежит к нему. При том же угле отношения сторон не меняются, каким бы ни был размер треугольника. Меняйте угол AA и гипотенузу ABAB.

Сторона по углу и гипотенузе

Запишите определение, подставьте известные числа и выразите неизвестную сторону. Катеты: BC=AB⋅sin⁡ABC = AB \cdot \sin A, AC=AB⋅cos⁡AAC = AB \cdot \cos A. Гипотенуза по катету: AB=BCsin⁡AAB = \frac{BC}{\sin A} или AB=ACcos⁡AAB = \frac{AC}{\cos A}.

Сначала решите, какой катет нужен: противолежащий углу связан с синусом, прилежащий — с косинусом.

Пример

В треугольнике ABCABC угол CC равен 90∘90^\circ, AB=20AB = 20, sin⁡A=0,35\sin A = 0{,}35. Найдите BCBC.

20ACB
Катет BCBC лежит против угла AA.
  1. 1.BCBC лежит против угла AA: sin⁡A=BCAB\sin A = \frac{BC}{AB}.
  2. 2.BC=AB⋅sin⁡A=20⋅0,35=7BC = AB \cdot \sin A = 20 \cdot 0{,}35 = 7.

Ответ: 77

Синус или косинус по двум сторонам

Если даны гипотенуза и один катет, а отношение требует другого катета, найдите его по теореме Пифагора. Дан прилежащий катет ACAC, а нужен sin⁡A\sin A: сначала BC=AB2−AC2BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}, потом sin⁡A=BCAB\sin A = \frac{BC}{AB}.

Пример

В треугольнике ABCABC угол CC равен 90∘90^\circ, AB=10AB = 10, AC=84AC = \sqrt{84}. Найдите sin⁡A\sin A.

√8410ACB
Синусу угла AA нужен катет BCBC, а дан катет ACAC.
  1. 1.sin⁡A=BCAB\sin A = \frac{BC}{AB}, катет BCBC не дан.
  2. 2.BC=102−84=16=4BC = \sqrt{10^2 - 84} = \sqrt{16} = 4.
  3. 3.sin⁡A=410=0,4\sin A = \frac{4}{10} = 0{,}4.

Ответ: 0,40{,}4

Табличные углы

Если угол равен 30∘30^\circ, 45∘45^\circ или 60∘60^\circ, синус и косинус берут из таблицы. Например, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, поэтому катет против угла 30∘30^\circ равен половине гипотенузы.

Пример

В треугольнике ABCABC угол CC равен 90∘90^\circ, ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, AC=7AC = 7. Найдите ABAB.

760°ACB
Катет ACAC прилежит к углу 60∘60^\circ.
  1. 1.ACAC прилежит к углу AA: cos⁡A=ACAB\cos A = \frac{AC}{AB}.
  2. 2.AB=ACcos⁡60∘=7:12=14AB = \frac{AC}{\cos 60^\circ} = 7 : \frac{1}{2} = 14.

Ответ: 1414

Синус по косинусу

Если дан косинус, а нужное отношение — синус, найдите синус по основному тождеству: sin⁡A=1−cos⁡2A\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}. Синус и косинус острого угла положительны, поэтому корень берут со знаком плюс. Так же cos⁡A=1−sin⁡2A\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}.

Пример

В треугольнике ABCABC AC=BCAC = BC, высота CHCH равна 24, cos⁡A=513\cos A = \frac{5}{13}. Найдите ACAC.

24ABCH
В прямоугольном треугольнике ACHACH катет CHCH лежит против угла AA.
  1. 1.Треугольник ACHACH прямоугольный, ACAC — гипотенуза, CHCH — катет против угла AA: sin⁡A=CHAC\sin A = \frac{CH}{AC}.
  2. 2.sin⁡A=1−25169=144169=1213\sin A = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.
  3. 3.AC=CHsin⁡A=24:1213=26AC = \frac{CH}{\sin A} = 24 : \frac{12}{13} = 26.

Ответ: 2626

Высота даёт прямоугольный треугольник

Синус и косинус определены в прямоугольном треугольнике. В другом треугольнике прямой угол даёт высота. Выберите прямоугольный треугольник, в котором есть нужный угол или равный ему.

В равнобедренном треугольнике угол при основании можно заменить другим углом при основании (углы при основании). У тупоугольного треугольника высота может упасть на продолжение стороны.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

В треугольнике ABC AB = BC, AC = 2, высота CH равна 1. Найдите синус угла ACB.

Проверьте себя

00

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать