тема 8 из 15

Цилиндр

Объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту: $V = \pi r^2 h$ . Боковая поверхность развёртывается в прямоугольник со сторонами $2\pi r$ и $h$ , поэтому её площадь $2\pi r h$ . Если жидкость переливают в другой цилиндр, её объём не меняется: в сосуде, который в $k$ раз шире, уровень в $k^2$ раз ниже.

Часто в задании3Реже в задании15На карте навыков

Объём — площадь основания на высоту

Основания цилиндра — равные круги радиуса $r$ , высота $h$ равна образующей. Объём $V = \pi r^2 h$ , площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 2\pi r h$ .

Площадь основания $\pi r^2$ . Если дан диаметр, радиус $r = \frac{d}{2}$ .
Полная поверхность — два основания и боковая поверхность: $S_{\text{полн}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ .
Осевое сечение — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$ .
Сосуд «шире в $k$ раз» — диаметр и радиус больше в $k$ раз, площадь дна больше в $k^2$ раз.
Ответ с $\pi$ записывают делённым на $\pi$ : $\pi$ не заменяют числом.

Ось цилиндра

OO_1

соединяет центры оснований, её длина — высота

h

Объём цилиндра

$V = \pi r^2 h$ : площадь круга в основании, умноженная на высоту. Радиус входит в формулу в квадрате, высота — в первой степени (меняется один размер).

Чтобы сравнить два цилиндра, разделите объёмы: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{r_2^2 h_2}{r_1^2 h_1}$ , и $\pi$ сократится. Кружка «в полтора раза шире» — её диаметр и радиус в $1{,}5$ раза больше.

Пример

Первая цилиндрическая кружка втрое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

Первая кружка втрое выше, вторая в полтора раза шире.

1.Диаметр второй кружки в 1,5 раза больше, значит, и радиус тоже. Пусть у первой кружки радиус $r$ и высота $3h$ , у второй — радиус $1{,}5r$ и высота $h$ .
2. $V_1 = \pi r^2 \cdot 3h = 3\pi r^2 h$ , $V_2 = \pi (1{,}5r)^2 \cdot h = 2{,}25\pi r^2 h$ .
3. $\frac{V_2}{V_1} = \frac{2{,}25}{3} = 0{,}75$ .

Ответ: $0{,}75$

Жидкость перелили в другой сосуд

Объём жидкости не меняется: $\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$ . Если диаметр второго сосуда в $k$ раз больше, площадь его дна больше в $k^2$ раз, и уровень в $k^2$ раз ниже: $h_2 = \frac{h_1}{k^2}$ .

Уровень делят на $k^2$ , а не на $k$ : площадь дна растёт как квадрат диаметра.

Пример

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 45 см. Жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого. На какой высоте будет уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

Во втором сосуде та же жидкость: дно шире, уровень ниже.

1.Диаметр больше в 3 раза, поэтому площадь дна больше в $3^2 = 9$ раз.
2.Объём тот же, поэтому уровень в 9 раз ниже: $45 : 9 = 5$ см.

Ответ: $5$

Один объём — разные уровни

S_1 h_1 = S_2 h_2

h_1

36

k

2

d_2 = 2\,d_1, \quad S_2 = 2^2 \cdot S_1 = 4\,S_1

h_2 = h_1 : 4 = 36 : 4 = 9

Жидкость из первого сосуда переливают во второй. Объём жидкости не меняется. Двигайте ползунки уровня и отношения диаметров.

Объём погружённой детали

Деталь вытесняет столько жидкости, каков её объём. Поэтому объём детали равен объёму слоя, на который поднялась жидкость: $V_{\text{дет}} = S \cdot \Delta h$ , где $S$ — площадь дна, $\Delta h$ — подъём уровня.

Площадь дна находят из начального объёма жидкости: $S = \frac{V}{h}$ . Радиус для этого не нужен.

Пример

В цилиндрический сосуд налили 1800 см³ воды. Уровень воды оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь, и уровень поднялся на 5 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в кубических сантиметрах.

Деталь подняла уровень на 5 см: объём детали — объём этого слоя.

1.Площадь дна: $S = 1800 : 12 = 150$ см².
2.Объём слоя высотой 5 см: $150 \cdot 5 = 750$ см³. Это и есть объём детали.

Ответ: $750$

Боковая поверхность

Развёртка боковой поверхности — прямоугольник. Одна его сторона — длина окружности основания $2\pi r = \pi d$ , другая — высота $h$ . Поэтому $S_{\text{бок}} = 2\pi r h = \pi d h$ .

Если площадь дана с $\pi$ , например $30\pi$ , число $\pi$ сокращается: из $\pi d h = 30\pi$ получаем $d h = 30$ .

Пример

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $30\pi$ , а высота равна 5. Найдите диаметр основания.

Развёртка боковой поверхности: прямоугольник со сторонами

\pi d

h

1. $S_{\text{бок}} = \pi d h$ , поэтому $\pi d \cdot 5 = 30\pi$ .
2. $5d = 30$ , $d = 6$ .

Ответ: $6$

Осевое сечение

Осевое сечение проходит через ось цилиндра. Это прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$ , его площадь $S_{\text{сеч}} = 2rh$ .

Боковая поверхность $2\pi r h = \pi \cdot 2rh$ — это площадь осевого сечения, умноженная на $\pi$ . Поэтому $\frac{S_{\text{бок}}}{\pi} = S_{\text{сеч}}$ .

Пример

Площадь осевого сечения цилиндра равна 7. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на $\pi$ .

Осевое сечение

ABB_1A_1

— прямоугольник со сторонами

2r

h

1. $S_{\text{сеч}} = 2r \cdot h = 7$ .
2. $S_{\text{бок}} = 2\pi r h = \pi \cdot 2rh = 7\pi$ .
3. $\frac{S_{\text{бок}}}{\pi} = 7$ .

Ответ: $7$

Ответ, делённый на π

Если объём или площадь содержит $\pi$ , условие просит записать ответ, делённый на $\pi$ . Найдите множитель при $\pi$ и не подставляйте $\pi \approx 3{,}14$ . Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Пример

Радиус основания цилиндра равен 3, высота равна 4. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$ .

Радиус основания 3, высота 4.

1. $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi$ .
2. $\frac{V}{\pi} = 36$ .

Ответ: $36$

Точки на окружностях оснований

Образующая перпендикулярна основаниям, поэтому точка $C_1$ верхней окружности проектируется в точку $C$ нижней окружности, и $CC_1$ — образующая. Хорды $BC$ и $B_1C_1$ с общими образующими равны и параллельны.

Если отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра, то он лежит в одной плоскости с осью. Эта плоскость содержит образующую $CC_1$ , потому что $CC_1$ параллельна оси. Она пересекает основание по прямой $AC$ через центр основания: $AC$ — диаметр, $r = \frac{AC}{2}$ , и вписанный угол $ABC$ прямой (угол на диаметр). В задании 15 ответ записывают с $\pi$ : $S_{\text{бок}} = 2\pi r h$ .

Пример

В цилиндре на окружности нижнего основания выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности верхнего основания — точки $B_1$ и $C_1$ , причём $BB_1$ — образующая, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB = 6$ , $BB_1 = 5$ , $B_1C_1 = 8$ .

AC_1

пересекает ось, поэтому

AC

— диаметр нижнего основания.

1.а) $C_1C$ — образующая. $AC_1$ пересекает ось $OO_1$ , поэтому проекция $AC$ проходит через центр $O$ : $AC$ — диаметр, и $\angle ABC = 90^\circ$ .
2. $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$ , поэтому $AB \perp (BB_1C_1C)$ и $AB \perp BC_1$ : $\angle ABC_1 = 90^\circ$ . Что и требовалось доказать.
3.б) $BC = B_1C_1 = 8$ , $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ , $r = 5$ , $h = BB_1 = 5$ .
4. $S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 5 \cdot 5 = 50\pi$ .

Ответ: б) $50\pi$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать