Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции сначала вычислим её производную и определим точки, в которых она обращается в нуль:
$y' = \left( 7 + 12x - \frac{4x^{\frac{3}{2}}}{1} \right)' = 12 - 4 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 12 - 6\sqrt{x}.$
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$12 - 6\sqrt{x} = 0$
$6(2 - \sqrt{x}) = 0$
$\sqrt{x} = 2$
$x = 4.$
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Из схемы видно, что при переходе через значение $x = 4$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, данная точка является точкой максимума.
Вычислим наибольшее значение функции, подставив $x = 4$ в исходное выражение: $$y(4) = 7 + 12 \cdot 4 - 4 \cdot 4\sqrt{4} = 7 + 48 - 32 = 23.$$

Ответ: 23

Источник: ФИПИ