Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Разбор задания:
Для нахождения точек экстремума функции сначала вычислим её производную и определим критические точки, в которых она обращается в нуль:
$y' = \frac{7(x + 3)^6}{(x + 3)^7} - 7$
Решим уравнение $y' = 0$:
$\frac{7(x + 3)^6}{(x + 3)^7} - 7 = 0$
Приведем выражение к общему знаменателю и приравняем числитель к нулю:
$7(x + 3)^6 - 7(x + 3)^7 = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$7(x + 3)^6 \cdot (1 - (x + 3)) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$7(x + 3)^6 \cdot (-2 - x) = 0$
Отсюда получаем корни:
$x = -2$
$x = -3$ (корень кратности 6, четная степень).
Проанализируем знаки производной на числовой прямой методом интервалов:

Исходя из схемы изменения знаков, при переходе через значение $x = -2$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, искомая точка максимума — это $x = -2$.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ