Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения аргумента, при которых она обращается в нуль:
$y' = 3x^2 + 32x + 64$
Решим уравнение $3x^2 + 32x + 64 = 0$:
Вычислим дискриминант: $D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot 64 = 1024 - 768 = 256$.
Найдём корни квадратного уравнения: $x = \frac{-32 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-32 \pm 16}{6}$.
Получаем две критические точки: $x_1 = -8$ и $x_2 = -\frac{8}{3}$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой, используя метод интервалов:

Исходя из смены знаков производной, делаем вывод: в точке $x = -8$ функция достигает максимума, а в точке $x = -\frac{8}{3}$ — минимума.

Ответ: -8

Источник: ФИПИ