Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения переменной, при которых она обращается в нуль:
$y' = (0,5x^2 - 21x + 110\ln x + 2)' = x - 21 + \frac{110}{x}$
Решим уравнение $y' = 0$:
$x - 21 + \frac{110}{x} = 0$
Приведя выражение к общему знаменателю (учитывая, что $x > 0$ по области определения логарифма), получим квадратное уравнение:
$x^{2} - 21x + 110 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
$x_{1} + x_{2} = 21$
$x_{1} \cdot x_{2} = 110$
Отсюда находим критические точки: $x_{1} = 11$ и $x_{2} = 10$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знака производной с плюса на минус, делаем вывод, что $x = 10$ является точкой максимума. При переходе через $x = 11$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ