Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную и определим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$y' = (9x - 9\ln(x + 11) + 7)' = 9 - \frac{9}{x + 11}$
$9 - \frac{9}{x + 11} = 0$
$\frac{9(x + 11) - 9}{x + 11} = 0$
$9x + 99 - 9 = 0$
$9x = -90$
$x = -10$
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знака производной с минуса на плюс, точка $x = -10$ является точкой минимума данной функции.
Вычислим значение функции в этой точке, чтобы найти её минимум: $$y(-10) = 9 \cdot (-10) - 9 \ln(-10 + 11) + 7 = -90 - 9 \ln(1) + 7 = -90 - 0 + 7 = -83.$$

Ответ: -83

Источник: ФИПИ