Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения переменной, при которых она обращается в нуль:
$y' = (2x^2 - 23x + 33\ln x + 21)' = 4x - 23 + \frac{33}{x}$
Решим уравнение $y' = 0$:
$4x - 23 + \frac{33}{x} = 0$
Приведя выражение к общему знаменателю (учитывая, что $x > 0$ по области определения логарифма), получим квадратное уравнение:
$4x^2 - 23x + 33 = 0$
Найдём дискриминант:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 33 = 529 - 528 = 1$
Вычислим корни уравнения:
$x = \frac{23 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} \implies x_1 = \frac{24}{8} = 3, \quad x_2 = \frac{22}{8} = 2,75 = \frac{11}{4}$
Проанализируем знаки производной на числовой прямой методом интервалов:

Исходя из смены знака производной с минуса на плюс, делаем вывод, что $x = 3$ является точкой минимума, в то время как $x = \frac{11}{4}$ — точка максимума.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ