Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции, используя правило дифференцирования произведения, и приравняем полученное выражение к нулю:
$y' = (x + 3)' \cdot e^{3-x} + (x + 3) \cdot (e^{3-x})' = 1 \cdot e^{3-x} + (x + 3) \cdot e^{3-x} \cdot (-1) = e^{3-x} (1 - x - 3) = e^{3-x}(-2 - x)$
Решим уравнение $y' = 0$:
Так как показательная функция $e^{3-x}$ всегда принимает положительные значения, уравнение сводится к:
$-2 - x = 0$, откуда получаем $x = -2$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

При переходе через точку $x = -2$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, данная точка является точкой максимума функции.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ