Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума сначала вычислим производную заданной функции:
$y' = (x^3 + 14x^2 + 49x + 11)' = 3x^2 + 28x + 49$.
Далее определим критические точки, приравняв полученное выражение к нулю:
$3x^2 + 28x + 49 = 0$.
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196 = 14^2$.
Находим корни уравнения:
$x = \frac{-28 \pm 14}{2 \cdot 3}$, откуда получаем два значения: $x_1 = -7$ и $x_2 = -\frac{7}{3}$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знаков производной, точка $x = -7$ является точкой максимума (производная меняется с плюса на минус), а $x = -\frac{7}{3}$ — точкой минимума.

Ответ: -7

Источник: ФИПИ