Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Ход решения:
Для определения точек экстремума вычислим производную заданной функции и найдём значения аргумента, при которых она обращается в нуль:
$y' = \left( 3x - 3\ln(x - 7) + 2 \right)' = 3 - \frac{3}{x - 7}$
Приравняем полученное выражение к нулю:
$3 - \frac{3}{x - 7} = 0$
Умножим обе части уравнения на $x - 7$ (учитывая, что $x > 7$ по области определения логарифма):
$3(x - 7) - 3 = 0$
$3x - 21 - 3 = 0$
$3x = 24$
$x = 8$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой, используя метод интервалов:

Видим, что при переходе через значение $x = 8$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, данная точка является точкой минимума функции.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ