Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения переменной, при которых она обращается в ноль:
$y' = (x^3 - 14x^2 + 49x - 10)' = 3x^2 - 28x + 49$
Решим квадратное уравнение $3x^2 - 28x + 49 = 0$:
Находим дискриминант: $D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196$.
Вычисляем корни уравнения:
$x = \frac{28 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{28 \pm 14}{6}$
Отсюда получаем два критических значения: $x_1 = \frac{42}{6} = 7$ и $x_2 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из смены знаков производной, делаем вывод: в точке $x = \frac{7}{3}$ функция достигает максимума, а в точке $x = 7$ наблюдается минимум.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ