Решение:
Чтобы определить точку минимума заданной функции, сначала вычислим её производную и найдём критические точки, в которых производная обращается в нуль:
$y' = (2x^2 - 38x + 38)' \cdot e^{x-25} + (2x^2 - 38x + 38) \cdot (e^{x-25})' =$
$y' = (4x - 38) \cdot e^{x-25} + (2x^2 - 38x + 38) \cdot e^{x-25} =$
Вынесем общий множитель $e^{x-25}$ за скобки:
$y' = e^{x-25} (4x - 38 + 2x^2 - 38x + 38) = e^{x-25} (2x^2 - 34x)$.
Решим уравнение $y' = 0$. Так как экспонента $e^{x-25}$ всегда принимает только положительные значения, достаточно приравнять к нулю выражение в скобках:
$2x^2 - 34x = 0$
Разделим обе части на 2 и вынесем $x$ за скобку:
$x(x - 17) = 0$
Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 17$.

Проанализировав знаки производной на числовой прямой, видим, что при переходе через значение $x = 17$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, искомая точка минимума — это 17.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ