Решение:
Чтобы определить точку максимума заданной функции, сначала найдем её производную и приравняем полученное выражение к нулю:
$y' = \left(\frac{x^{2} + 289}{x}\right)' = \frac{(x^2 + 289)' \cdot x - (x^2 + 289) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 289)}{x^2} = \frac{x^2 - 289}{x^2}$
(Заметим, что в исходном выражении для производной был изменен знак, приведем к стандартному виду для анализа критических точек):
$y' = \frac{x^2 - 289}{x^2}$
Для поиска экстремумов решим уравнение $y' = 0$:
$x^2 - 289 = 0$, откуда $x^2 = 289$.
При этом учитываем область определения производной: $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$.
Корнями уравнения являются $x = 17$ и $x = -17$.
Определим знаки производной на числовой прямой:

Анализируя смену знаков производной с плюса на минус, получаем, что искомой точкой максимума является $x = 17$.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ