Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Чтобы определить точку минимума заданной функции, сначала вычислим её производную и найдём критические точки, в которых она обращается в нуль:
$y' = -\cos x - (0{,}5 - x) \sin x + \cos x = (x - 0{,}5) \sin x$
Приравняем полученное выражение к нулю:
$(x - 0{,}5) \sin x = 0$
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\sin x = 0$, откуда $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Однако ни одно из этих значений не попадает в интервал $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.
2) $x - 0{,}5 = 0$, что дает корень $x = 0{,}5$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой:

Исходя из распределения знаков, значение $x = 0{,}5$ является искомой точкой минимума.

Ответ: 0,5

Источник: ФИПИ